中文摘要：

本项目研究Schr?dinger方程正反散射问题的数值解法。散射作为量子力学中的一类基本问题，在描述自然现象的种类和数量上比经典散射问题要丰富得多。由于Schr?dinger方程描述的是量子体系下"物质波"所遵循的运动规律，因此从数学上研究Schr?dinger方程的正反散射问题具有非常明确的物理背景。现在数学上对量子正反散射问题的基本研究方法是积分方程方法，并结合算子理论以及复分析等手段，与经典散射问题相比，其研究方法更加偏重理论分析而非计算。本项目将从计算数学的角度出发，以现有的研究为基础，利用理论更成熟方法更丰富的经典散射问题中的一些对量子散射具有一定适用性或启发性的研究方法及手段来研究量子的正反散射问题。本项目将致力于提供新算法并给出算法的理论分析。因此本项目的研究可以为许多高新技术领域提供算法上的参考和指导，具有非常广阔的应用前景。

结论摘要：

散射是量子力学中一类基本问题，而Schr？dinger方程描述的是量子体系下“物质波”所遵循的运动规律，因此从数学上研究Schr？dinger方程的正反散射问题具有非常明确的物理背景。本项目旨在从计算的角度，利用经典的声学和电磁学散射理论中的一些对量子散射有适用性或启发性的研究方法和手段，来研究Schr？dinger方程正反散射问题的数值解法。目前我们主要针对反散射领域中重构位势支集这一问题作了一些研究，采用一个直接的抽样方法来重构Schr？dinger方程中位势的支集。与一般的线性抽样法及其一些改进版本相比，直接抽样法只需要一个或几个入射方向所对应的近场散射数据作为反演数据即可得到较好的重构效果，特别是具有运算简单以及对噪声不敏感的特点，通过理论推导，说明了对于二维和三维空间情形，该直接抽样法都具有可行性和有效性。本项目的成果在重构算法方面提供了一定的理论和应用价值。