中文摘要：

顶点算子代数是一个新发展起来的结构丰富应用广泛的代数分支, 它涉及到众多领域如仿射Kac-Moody李代数,有限离散单群, 数论中模函数和物理二维共形场理论. 而扩张仿射李代数作为有限维单李代数和仿射Kac-Moody李代数的自然推广也是代数学家和数学物理学家的热门课题. 在本项目中我们拟合作研究扩张仿射李代数和顶点代数的相互交叉关系. 最终目的是建立一个扩张仿射李代数与顶点代数及其拟摸的自然联系. 同时也系统地建立一个环面顶点代数理论, 然后将扩张仿射李代数同环面顶点代数及其表示有机地结合起来. 一方面这个研究将自然提供一大批有意义的顶点代数, 同时让我们从一个崭新的角度去研究扩张仿射李代数结构及其表示. 另一方面环面顶点代数作为一个数学工具在物理高维量子共形场理论的研究中将扮演一个非常重要的角色.

结论摘要：

在本研究项目中，我们在建立和发展扩张仿射李代数和顶点算子代数之间的内在联系上开展了广泛深入的研究，并取得了许多理想的结果。首先作为主要结果的一部分， 我们引进和发展了在顶点代数领域中一些新的奠基性理论， 其中包括一套环面顶点代数及其模的理论，一个顶点Leibniz 代数的理论，和一个关于量子顶点代数的G- 等变phi－坐标模理论。其次我们给出了关于环面顶点代数及其模，顶点Leibniz 代数，量子顶点代数的G- 等变phi－坐标模的广泛构造定理。我们进一步应用这些理论和结果具体构造了对应于环面仿射李代数的一类环面顶点代数，建立了环面李代数同环面顶点代数的自然联系； 建立了在数学物理中颇为重要的某q－形变Virasoro 代数， 三角函数李代数同某类具体顶点代数的内在联系； 也建立了一个某形变Virasoro 代数同顶点超代数的联系。 另外， 本研究项目为我们引出了一些重要的新研究课题，如研究仿射李代数主分次实现和顶点算子代数拟模的自然联系，发展环面顶点代数的拟模和扭模理论。