中文摘要：

图谱理论是组合数学与图论的一个重要研究方向，对图的谱性质与图结构之间关系的研究不仅能促进图谱理论的发展，而且一直为许多其他领域的发展提供着有力的工具。近年来，其更是在蓬勃发展的复杂网络的定量研究中扮演着重要角色。本项目主要研究图的谱性质与图结构之间的联系，解决一些具有挑战性的代数图论问题；同时，关注图的谱性质在复杂网络研究中的应用。即 (1) 刻画图的特征值（邻接谱，拉普拉斯谱，斜谱等）及谱跨度、谱隙的极端性质； (2) 建立图的特征值及谱跨度、谱隙与一些有应用前景的不变量之间的联系； (3) 在研究图的特征向量及其应用方面取得若干新的进展； (4) 应用图的谱性质有效地解决复杂网络中的一些重要问题，特别是网络的社团性质，网络同步与控制。预计完成高质量论文15-18篇，其中半数以上被SCI、EI收录。

结论摘要：

图谱理论是组合数学与图论的一个重要研究方向。对图的谱性质与图结构之间关系的研究不仅能促进图谱理论的发展，而且一直为其他领域的发展提供着有力的工具。本项目主要研究了图的谱性质与图结构之间的联系，特别是图的邻接谱、斜谱、拉普拉斯谱的代数性质和组合性质。我们利用代数的方法和技巧研究图的代数性质、拓扑性质和组合性质，找出它们之间的联系，解决了一些具有挑战性的代数图论问题；同时关注了图的谱性质在复杂网络中的应用。本项目组在斜谱理论、图的能量等方面的研究中做出了一些开创性的工作，丰富了图谱理论，并为图谱理论的研究提供了一些新的思路和方向。具体来说，本项目的主要成果体现在以下几个方面 （1）我们研究了有向图的谱半径与其k-途径数之间的关系，得到了谱半径的上下界及达到这些界的极图。另外，我们还利用矩阵理论和数学分析方法得到了有向图谱半径与图的途径数间的一个极限关系。 （2）我们给出了赋权定向图斜邻接矩阵特征多项式系数的组合解释，得到了一个一般性的特征多项式定理。我们对一般图的邻接谱半径和斜邻接谱半径进行了比较，得到了它们之间的一些重要关系；给出了几类斜邻接谱半径不超过2的定向图，并得到了所有斜邻接谱半径不超过2的定向单圈图和双圈图。 （3）我们完全刻画了所有斜能量取得最小的四正则图，以及斜能量取得最小的固定直径的单圈图。我们研究了n阶非完全等能量图的存在性问题，同时给出了点数为7-10的所有非完全等能量图。 （4）我们研究了图的Laplace矩阵的谱性质，重点讨论了图的一般特征向量的组合结构性质。我们定义了图的k-极大特征向量并研究了它的性质，得出图的任一Fiedler向量均为图的2-极大特征向量。 （5）我们应用代数图论的方法研究了一个耦合网络的同步是如何受到该网络边的扰动而发生变化的。另外，我们还利用阿波罗网络的自相似性和其对偶图，得到了此网络的生成树的数目，并计算了此网络的熵。 总之，我们完成了本项目的研究内容，取得了预期研究成果，共计发表SCI、EI收录论文24篇，其中被SCI收录21篇，EI收录3篇。特别地，在“MATCH Commun. in Math. Comput. Chem.”等SCI 2区期刊上发表论文5篇。