中文摘要：

群对称条件下带临界指数的椭圆方程来源于很多应用学科，关于其解的存在性的研究具有重要的科学意义。但到目前为止，较少有学者研究群对称条件下带临界指数的奇异椭圆方程解的存在性。这里，群对称条件指区域和函数关于某正交变换群的不变性。本项目致力于研究群对称条件下带临界指数的奇异椭圆方程Dirichlet问题群对称正解、变号解和多重解的存在性，并探讨奇异项对群对称解存在性的影响。我们将通过在群对称条件下建立全局紧性结果等理论，并结合在群对称空间(群对称函数构成的空间)中使用或改进变分法和临界点理论的相关工具证明方程群对称解的存在性。本项目将有助于揭示群对称条件下带临界指数的奇异椭圆方程Dirichlet问题群对称解存在性的一般规律，为其他学科相关问题的研究提供理论依据，并促进对该类方程(组)更一般问题（其他边值问题、多调和问题等）的关注和研究。

结论摘要：

带临界指数的椭圆方程来源于很多应用学科，关于其解的存在性的研究具有重要的科学意义. 本项目重点研究群对称条件下带Hardy型位势和临界指数的椭圆方程解的存在性及其相关问题. 主要研究结果包括(1) 在多重Hardy型位势的奇异点具有对称性的条件下，证明了有界群对称区域上带多重Hardy型位势和一项Sobolev临界项的半线性椭圆问题群对称正解的存在性与多重性，并证明了一定条件下非平凡解的不存在性，推广了V. Benci和G. Cerami的结果. (2) 建立了一类带有一项Hardy型位势和多重Hardy-Sobolev临界项的拟线性椭圆问题在有界区域和全空间上的全局紧性结果，利用该全局紧性结果，在分别分析权函数和次临界项干扰的情况下，证明了这类方程解的存在性与多重性. 该结果可推广到奇异点对称分布时群对称解的存在性. (3) 建立了有界群对称区域上带Sobolev临界项的多调和问题的全局紧性结果，进而利用该结果证明了对应多调和问题群对称非平凡解和变号解的存在性. (4) 研究了有界光滑区域上混合Dirichlet-Neumann边界条件下带双重Hardy型位势和一项Hardy-Sobolev临界项的半线性椭圆问题. 利用集中紧性原理和山路引理证明了方程正解的存在性和多重性，并给出了非平凡解不存在的一个充分条件. (5) 证明了与本项目相关的一类带有Hardy-Sobolev奇异项的抛物方程解的存在性. (6) 证明了一般有界区域和球对称区域上一类带Hardy位势和Sobolev临界指数的椭圆方程Dirichlet问题multi-bubble解(也是变号解)的存在性. 这包括: 一般有界区域上若干个bubble在同一点（原点）集中的变号解的存在性；以及球心在原点的单位球域上若干个bubble在不同点集中的变号解的存在性. (7) 研究了全空间上一类带Hardy位势和周期型位势的Schr？dinger方程，证明了其基态解的存在性. (8) 与本项目相关的一些椭圆方程解的H？lder连续性、正则性、Harnack不等式及一些重要的估计等.