中文摘要：

无网格法是继有限元和边界元法之后又一重要的数值方法，是当前科学和工程计算研究的热点之一。相比有限元和边界元法，无网格法的自适应算法和耦合算法的研究仍处于起步阶段，相关的数学理论也很少，尤其是基于边界积分方程的无网格法，数学理论的缺乏已对其发展造成了一定程度的制约，研究发展相应的数学理论已非常重要。 Galerkin边界点法是一种基于边界积分方程的无网格法，具有不需要划分插值单元、降低解题规模、边界条件容易施加和系数矩阵对称正定等优点。本项目将对该无网格法的后验误差进行可靠且有效的估计，设计高效的自适应算法，分析自适应算法的收敛性。本项目还将研究该无网格法分别与有限元法和边界元法的耦合算法，分析耦合算法的误差估计理论，研究耦合算法的自适应过程和相应的收敛性理论。本项目的完成将为科学工程问题的数值求解提供高效的无网格算法，同时将完善无网格法的数学理论，对无网格法的深入发展具有重要的推动作用。

结论摘要：

无网格方法是继有限元方法和边界元方法之后又一类重要的数值求解偏微分方程近似解的计算方法。无网格Galerkin边界点法是一种基于边界积分方程的无网格方法，它通过在求解区域边界布置节点来建立求解方程，具有不需要划分插值单元、降低解题规模、边界条件容易施加和系数矩阵对称正定等特点。相比有限元和边界元方法，无网格方法的自适应算法和耦合算法的研究较少，相关的误差估计等数学理论也很少，尤其是基于边界积分方程的无网格方法，数学理论的缺乏已对其发展造成了一定程度的制约，研究发展无网格方法相应的数学理论、自适应算法和耦合算法已非常重要。 本项目对Galerkin边界点法的自适应无网格算法及其与有限元等方法的耦合算法进行了系统而深入的理论研究和算法研究，取得的研究成果为分析了Galerkin 边界点法近似求解过程中的后验误差，获得了整体和局部后验误差估计公式，研究了误差公式的可靠性和有效性；在后验误差估计的基础上，利用局部化技术推导了可计算的局部误差估计子，构造了Galerkin 边界点法的自适应算法，并分析了该算法的收敛性；建立了混合边值问题的Galerkin 边界点法，推导了近似解在Sobolev空间中的误差估计和收敛性；构造了Galerkin边界点法与有限元和边界元方法的耦合方法，推导了在整个求解域上的耦合公式，在Sobolev空间中分析了耦合算法的误差和收敛性；通过编制程序，用发展起来的无网格自适应算法和耦合算法数值求解了一些具体的科学工程问题，数值实例验证了算法的有效性和理论分析的正确性。 本项目为科学工程问题的数值求解提供了一些具体的无网格自适应算法和耦合算法，同时为无网格方法的深入发展提供了一定的算法工具和理论基础，对无网格方法数值求解科学工程问题具有重要的参考价值。