中文摘要：

本课题准备研究包括标准映射、椭圆运动场的台球映射、二维时间周期Hamilton系统的Poincare映射等一些具体的辛扭转映射的动力学行为，如不动点的稳定性、双曲性、混沌性、不变闭曲线的存在性以及Aubry－Mather集的存在性等。我们希望能通过一些具体的例子揭示辛扭转映射所蕴涵的丰富的动力学内涵，并对一些形式简单的系统的复杂性给出明确而具体的描述方法。辛扭转映射的研究已有较长的历史。Poincare，Birkhoff，Moser，Aubry以及Mather在研究具体问题时已经注意到了辛扭转映射的重要性和丰富的应用背景，并对这类问题的研究作出了重大的贡献。辛扭转映射不仅具有重要的应用意义，而且也有非常重大的理论价值。它的研究不仅对动力系统本身的研究有重要的意义，并且为Hamilton系统的研究指引了方向。

结论摘要：

辛扭转映射的研究已有较长的历史。Poincare，Birkhoff，Moser，Aubry以及Mather在研究具体问题时已经注意到了辛扭转映射的重要性和丰富的应用背景，并对这类问题的研究作出了重大的贡献。辛扭转映射不仅具有重要的应用意义，而且也有非常重大的理论价值。它的研究不仅对动力系统本身的研究有重要的意义，并且为Hamilton系统的研究指引了方向。本项目致力于研究包括运动场台球映射、二维时间周期的常微分方程的Poincare映射等一些具体的辛扭转映射的动力学行为。首先，我们研究了一类运动场台球映射的动力学行为，证明了运动场台球映射存在无穷多条双曲轨道，它们的稳定流形和不稳定流形横截相交，从而蕴含混沌。其次，我们研究了平面上半线性可逆系统和非对称系统，证明了这两类系统的所有解有界以及存在大量的调和解、次调和解和拟周期解。最后，我们进行了周期系数的平面Hamilton的周期解的Liapunov稳定性的系统研究。