中文摘要：

超奇异积分与超奇异积分方程数值计算的研究是现代边界元方法中,尤其是自然边界元方法中的一个重要研究内容。近几年来,随着奇异积分理论的不断完善，相应超奇异积分与超奇异积分方程计算方法的研究也得到迅速发展,有众多计算数学工作者和工程工作者给予极大关注。牛顿-科特斯积分公式计算奇异积分的超收敛现象，由我国学者首先发现并进行研究，取得了一系列卓有成效的研究成果。超收敛性不但可以提高奇异积分的计算精度,也可以为求解超奇异积分方程提供了新的有效途径。本课题将深入系统地研究牛顿-科特斯公式计算超奇异积分的误差展开式及相应的超收敛分析，并将其应用于边界元方法中尤其是自然边界元方法中超奇异积分方程的数值求解。

结论摘要：

超奇异积分与超奇异积分方程数值计算的研究是现代边界元方法中,尤其是自然边界元方法中的一个重要研究内容。近几年来,随着奇异积分理论的不断完善，相应超奇异积分与超奇异积分方程计算方法的研究也得到迅速发展,有众多计算数学工作者和工程工作者给予极大关注。牛顿-科特斯积分公式计算奇异积分的超收敛现象，由我国学者首先发现并进行研究，取得了一系列卓有成效的研究成果。本课题深入系统地研究了牛顿-科特斯公式计算超奇异积分的误差展开式及相应的超收敛分析和外推算法；主要做了如下几条研究， 1.完成了基于梯形公式的外推法计算圆周上超奇异积分的研究。在实际计算中，仅对密度函数进行数值逼近，而奇异核解析计算，不但降低了积分核的奇异性，而且提高了计算效率；进而对密度函数进行展开，得到相应的显式误差展开式，据此提出外推算法并证明了外推算法的有效性； 2.提出了经典梯形公式近似计算Cauchy主值积分的新方法，经典的梯形公式不能直接用于Cauchy 主值积分的近似计算，首先得到误差泛函的具体表达式，当特殊函数等于零时，得到超收敛现象以及相应的收敛阶，根据误差展开式提出修正的算法； 3.对于区域上的某一类多核奇异积分，提出广义的矩形公式，解析计算奇异核，得到误差泛函的具体表达式，当误差泛函的特殊函数等于零时，由此得到相应的超收敛现象； 4.对于圆周上的三阶超奇异积分，基于Hadamard有限部分积分定义，将密度函数展开，利用辛普森公式，基于误差泛函，得到相应的超收敛现象；利用此结论，可以提高计算超奇异积分的效率； 5.对于区间上的二阶超奇异积分，仅离散密度函数的前提下，提出新的积分方案，在仅增加一个剖分节点条件下，直接利用超收敛的结论，使奇异点正好位于子区间的中点，从而可以简单高效的计算超奇异积分； 6.对于区间上的二阶超奇异积分，利用埃尔米特插值，得到相应的误差泛函的具体表达式，当误差泛函的特殊函数等于零时，得到超收敛现象；该研究提出了外推法近似计算超奇异积分的方法并丰富了超奇异积分的超收敛现象的理论，基于误差泛函所得到的超收敛点取为配置点为配置边界元方法提供了新的思路。