中文摘要：

本项目将在以下几方面研究由ADE型Cartan矩阵的2-fold仿射化确定的广义相交矩阵李代数(简记为gim代数)及其量子代数(简记为量子gim代数)的结构和表示利用相应的覆盖Kac-Moody代数、广义双曲Kac-Moody代数刻画gim代数的根系、Weyl群；研究覆盖Kac-Moody代数的可积最高权模分别限制在gim代数和广义双曲Kac-Moody代数上的模结构；利用Lusztig对称刻画量子gim代数的具有PBW性质的基；刻画量子gim代数的Drinfel'd-Jimbo余乘与量子环面李代数的余乘之间的关系；研究量子gim代数的有限维表示，研究环面李代数上的Toda系统的完全可积性。

结论摘要：

本项目研究了与ADE型Cartan矩阵的2-重仿射化有关的李代数, 包括广义相交矩阵李代数(以下简称gim代数)、覆盖Kac-Moody代数和一类轨道李代数(即计划书中的广义双曲李代数). gim代数是仿射李代数的自然推广, 与环面李代数有密切联系; 而轨道李代数与一类Borcherds意义下的广义Kac-Moody代数有密切关系. 本项目对于无穷维李代数的研究具有参考意义. 我们研究了gim代数的根、Weyl群、非退化不变双线性型; 利用轨道李代数的非迷向虚根得到了gim代数的0-根子空间和中心的刻画. 在此基础上我们计算了gim代数的某些外导子. 这些结论充分体现了gim代数的不同于Kac-Moody代数的特点. 我们证明了量子gim代数同构于覆盖Kac-Moody代数的量子群的一个右余理想子代数. 我们证明了轨道李代数同构于覆盖Kac-Moody代数的一个不动点子代数(这是一个广义Kac-Moody代数)的一个子代数, 由此得到了这个广义Kac-Moody代数的根系的刻画, 以及它和轨道李代数的根的重数之间的一个不等式关系. 我们证明了轨道李代数同构于一个Lorentizan Kac-Moody代数的子代数; 给出了一个较为一般的构造Kac-Moody代数的Kantor意义下的局部李代数结构的方法, 这个方法适用于Lorentzian Kac-Moody代数和这里的轨道李代数, 由此得到了轨道李代数的某些根的重数和某些可积最高权模的branching rule的刻画.