中文摘要：

研究无穷维李代数的结构与表示理论及其在共形场论,无穷维可积系统孤子理论中的应用，特别是广义仿射李代数（EALA）的结构与表示理论; 量子环面上导子李代数与斜导子李代数等子代数的表示理论及其与有限维单李代数高权表示之间的对应与联系；广义Witt代数，广义Virasoro代数与超环面李代数及Slodowy的GIM代数，IM代数表示理论与应用；广义仿射顶点代数的结构理论与表示理论; Cartan型李代数的模表示与典型李代数表示理论之间的关系。

结论摘要：

关于广义扩张仿射李代数，给出了全格TKK代数的结构和两个顶点算子表示，其一为boson实现，而另一个为boson-fermion实现。还给出了中心为零TKK代数的Wakimoto自由场实现。利用自由boson场得到了A1型toroidal李代数的高阶表示。发现了一类无穷维李代数，它包含通常的A1型toroidal李代数，给出了这类代数的部分分类及中心扩张、导子结构、自同构群，同时给出了一个fermion-boson实现。关于量子环面与超环面代数，得到了一类从有限维李代数的表示到量子环面导子李代数与斜导子李代数的Larsson函子，由此得到了一大类权空间一致有界不可约表示。关于多变量量子环面上的斜导子李代数及其全形，研究了其中心扩张、导子结构、自同构群。对Cartan型李代数，构造出了限制型Cartan李代数的一个具有非奇异特征标的不可约表示，同时得到了一些具有奇异特征标的单表示。关于Virasoro-like代数及其q-类似的权空间有限不可约表示，证明了它们的Harish-Chandra模只能是广义高权模。并证明了全部广义高权不可约模都是由它们的Heisenberg子代数的单模诱导出来