中文摘要：

非线性波方程出现在数学、力学、光学和生物学等众多学科领域，是非线性科学的重要分支。本项目利用微分方程定性理论分析奇异直线、奇异双曲线和奇异椭圆对非线性波方程的奇异孤子的影响，分析奇异孤子的产生原因并提出分类标准，探索幂零奇点与奇异紧孤子之间的联系；分析非线性波方程的守恒量与同宿分支，研究奇异孤子的存在性与轨道稳定性。根据同宿轨道，异宿轨道与奇异孤子的相关性，研究扰动非线性波方程的同宿缠绕与异宿缠绕现象，建立推广的Melnikov函数，分析具有SRB测度的秩一吸引子的存在条件，探索奇异孤子与混沌的联系。对非线性波方程的周期波解，推导出相关的Picard-Fuchs方程，分析周期函数的单调性和凸性等解析性质，揭示周期波解的周期与能量之间的关系，并根据周期函数的凸性研究周期波解的稳定性。本项目的研究将丰富非线性波方程的理论，推动相关学科的发展。

结论摘要：

非线性波方程出现在数学、力学、光学和生物学等众多学科领域，是非线性科学的重要分支。本项目利用微分方程定性理论分析奇异直线、奇异双曲线、奇异椭圆和奇异抛物线对非线性波方程的奇异孤子的影响，分析奇异孤子的产生原因并提出分类标准。利用动力系统理论研究了几类非线性波方程，研究结果阐述了幂零奇点与紧孤子存在紧密联系。此外，我们发现了一些新的椭圆函数紧孤子，它们不同于经典的三角函数紧孤子。通过分析奇异椭圆，我们也获得了两个新的紧孤子。利用李群方法研究了一个短波方程的李点对称和广义对称，通过解的对称性，运用动力系统分支方法对方程的参数空间进行分析，获得了方程的四类行波解。对非线性波方程的周期波解，推导出相关的Picard-Fuchs 方程，分析周期函数的单调性和凸性等解析性质，揭示周期波解的周期与能量之间的关系，并根据周期函数的凸性研究周期波解的稳定性。本项目的研究丰富了非线性波方程的理论，推动相关学科的发展。