中文摘要：

本项目旨在研究某些组合序列所具有的共性、寻找某些组合恒等式的统一证明方法。组合序列及组合恒等式是组合数学的重要研究课题。通过对组合序列的性质进行研究和分析，人们已经提出了Bell多项式、Sheffer序列、Riordan阵、广义Stirling数对等概念和理论，以此可以统一地研究许多类组合序列。我们的主要目标是利用组合数学的方法和技巧，研究Bell多项式、Sheffer序列、Riordan阵、广义Stirling数对等诸多概念的性质、内在联系和相互关系、它们与对称函数、特殊函数之间的联系、它们在组合计数上的应用，以此统一和整合大量组合序列的已知性质、发现组合序列的新性质、寻找证明某些组合恒等式的统一有效的方法、探索组合序列及恒等式的组合背景。本项目的研究将有助于加深了解组合数学中大量的组合序列及组合恒等式，为这些序列及恒等式提供新的研究视角。

结论摘要：

组合序列及其恒等式是组合学的重要研究内容。本项目的主要目标是利用组合学的方法和技巧，研究某些组合序列所具有的共性、寻找处理某些组合恒等式的统一有效的方法。三年来，我们对相关课题进行了系统的研究，并取得了积极的进展，共完成论文十篇，其中六篇已发表并被SCI检索，三篇被SCI检索期刊录用，一篇正在审稿中。通过项目的实施，使我们对某些组合序列及组合恒等式有了更深入的了解。我们的研究结果有（1）有关调和数及其和式的研究。我们利用Bell多项式研究了一些经典的超几何级数求和定理，建立了既含调和数又含Riemann zeta函数的公式，由此得到很多调和数恒等式。这些恒等式既含有限和式又含无穷级数，可进一步得到许多类似于Euler和的级数。我们利用Bell多项式建立了二项式系数的高阶导数的表达式，推广了Newton-Andrews方法，拓展了其应用范围。利用该结果可以由超几何级数恒等式系统地得到一大批调和数恒等式。（2）有关Bernoulli多项式与Euler多项式混合乘积之和的研究。我们通过部分分式分解和生成函数方法建立了Bernoulli多项式与Euler多项式的混合乘积之和的表达式，建立了一些含特殊系数或具有分式的乘积之和的表达式。我们发现若和式中的系数是有理数的幂的乘积，就可以建立和式的递推公式，由此得到和式的封闭形式。我们用程序实现了相应算法。（3）有关q二项式变换序列的研究。基于q广义Seidel矩阵的性质，我们研究了一个序列及其q二项式变换序列的关系，建立了一般公式，由此得到许多恒等式，其中一些与q对偶序列、q-Bernoulli多项式及第二类q-Stirling数有关。这一结果推广了初文昌、孙智伟等人的工作。（4）有关Sheffer序列的行列式表示的研究。我们根据Riordan群与Sheffer群的同构事实，得到了Sheffer序列的行列式表示，推广了Costabile等人的结论，并由此重新推导了Sheffer序列的一些基本性质。（5）有关特殊函数的逼近公式的研究。我们研究了Gamma函数的逼近，建立了连乘积形式的逼近公式及幂指函数形式的逼近公式，我们的公式比一些已有的公式更加精确。（6）有关超几何级数的研究。我们利用Euler变换建立了双超几何级数的几个一般变换公式，由此建立了一系列Kampé de Fériet级数的约化公式，并进一步得到许多新的求和公式。