中文摘要：

对伊藤（Ito）型刚性随机微分方程（SDE）初值问题做如下方面的数值分析研究数值方法的稳定性和收敛性，数值方法如何逼真再现随机变量的主要数字特征；构造能有效求解漂移和扩散部分均含刚性的SDE的全隐式方法；隐式方法的高效实现，变步长方案及自适应算法；优化隐式方法族中的参数以获得最佳稳定域。将上述所获得的部分结果应用于某些随机偏微分方程。本项目旨在为刚性随机微分方程数值算法建立相关理论基础，为构造实用、高效的算法提供指针，为刚性随机微分方程数值求解及大规模数字实时仿真服务。本项目将丰富随机微分方程数值分析的内涵，应用于物理、生物、化学和自动控制等领域，具有重要的理论意义和广泛的应用前景。

结论摘要：

本项目主要研究随机微分方程数值算法理论，所研究的问题类包括刚性随机微分方程、随机泛函微分方程和随机偏微分方程等。提出了适合求解刚性随机微分方程的全隐数值格式，它是目前仅有的几个高阶全隐格式之一。提出了两类显式方法，其稳定域远大于对应的传统方法，是适合求解刚性问题的高效算法。系统研究了平衡隐式方法在求解随机比例方程、带跳的随机微分方程时的表现，平衡隐式方法是适于求解刚性随机微分方程的全隐格式之一。对非线性随机延迟微分方程，研究系统本身及数值方法的均方稳定性、均方收缩性及均方渐近收缩性，将随机微分方程、随机延迟微分方程（含常延迟和变延迟，变延迟又包括 有界和无界变延迟）放在一个统一的理论框架下开展研究。研究了随机变延迟微分方程数值方法的收敛性和稳定性，不仅获得了变延迟情形下系统本身和数值解的理论分析结果，而且改进了常延迟情形下文献中已有的结论。对带跳的随机(延迟)微分方程，鉴于补偿Poisson过程的鞅性，相应地研究补偿随机θ方法，证明补偿随机θ方法的稳定性优于随机θ方法。对抛物型随机偏微分方程和随机波方程，在可加噪声、可乘噪声、迹类噪声和时空白噪声情形下，着重研究如何构造时间方向的离散格式，分析时间方向的强收敛性和弱收敛性，研究结果表明收敛阶与噪声的类型和正则性密切相关，迹类噪声情形下可获得更高的收敛阶，随机积分离散时不用传统的噪声增量而引入噪声泛函，从而获得指数积分子，加速指数Euler方法达到了最优收敛阶，从而突破了现有数值算法的收敛阶障碍。为避免Milstein方法中所需的导数计算，还研究了Runge-Kutta型高阶格式。本项目还研究了随机延迟微分方程数值方法的延迟依赖稳定性、非全局Lipschitz条件下随机微分方程驯服Milstein方法的收敛性及一些金融数学模型的数值格式。与确定性微分方程相比较，随机微分方程能更加逼真地模拟现实世界的诸多现象，深入开展随机微分方程数值方法的理论研究及探索高效求解随机微分方程的数值格式具有重要 的理论意义和广泛的应用前景。