中文摘要：

无界区域上非线性偏微分方程的数值求解是一个既有广泛的科学和工程应用背景，又具有挑战性的困难课题。其基本困难在于问题的非线性性和物理区域的无界性交织在一起，这是当前计算数学研究的一个热点前沿课题。人工边界方法已被广泛应用于数值求解无界区域上的线性偏微分方程边值问题，但对于更多的非线性偏微分方程是否能够实现边界归化，如何得到人工边界条件，以及构造能有效求解无界区域上非线性偏微分方程问题的较一般的数值方法，至今仍是亟待解决的非常困难的课题。本项目主要研究一些具有广泛应用背景的无界区域非线性问题的人工边界法及由此引申出来的相关问题的计算方法。

结论摘要：

本项目组主要研究了一些具有广泛应用背景的无界区域非线性问题的人工边界法以及由此引申出来的相关问题的计算方法。首先，我们利用有限元（FEM）与边界元（BEM）耦合方法研究平面上一类非线性外问题，给出了基于非线性人工边界条件的耦合问题收敛性结果和误差估计；利用局部间断Galerkin（LDG） 和自然边界元（NBEM ）耦合方法研究平面上另一类外问题，结合两种方法的各自优势，得到了离散问题的稳定性以及先验误差估计；针对弹性力学中一类非线性外传输问题，我们提出了不同于古典边界元方法的基于自然边界元的新的耦合方法，并给出稳定性分析和误差估计结果；针对三维外调和问题，给出了基于自然边界归化的交替算法及其收敛性分析。其次，针对弹性力学中非常重要的最优设计问题，我们尝试用自适应有限元方法对其进行了研究，并取得满意的结果。最后，我们利用最低阶的Newton-cotes公式研究区间上Cauchy 型奇异积分以及积分方程，并取得了满意的超收敛结果。