中文摘要：

Klein群作为当今世界主流数学中的一个充满活力的研究分支，与Riemann曲面、双曲流形、复动力系统、Teichmüller空间等理论密切相关，一直受到许多数学家的关注。Klein群以及群中元素（M?bius变换）在双曲空间及其边界（紧致球空间）上的作用特点就是一个想当重要领域，这种空间映射的保圆、保角和保交比等性质在许多领域有重要应用。欧几里德空间上有著名的仿射几何基本定理，就是研究空间映射（仿射变换）和具有直线保持性质映射的关系。本项目研究高维空间上的空间映射，包括双曲空间（紧致球空间）上的M?bius变换，欧氏空间上的仿射变换，研究这些映射的性质（例如保线、子空间）。主要研究其反问题，保持这些性质的映射是否是标准空间映射，在局部上的性质又有什么特点。通过对反例的构造和研究，讨论空间映射的本质属性及刚性问题。

结论摘要：

本项目对高维双曲空间、欧氏空间以及紧致球空间上的空间映射的刚性问题进行了一系列研究。研究了局部欧氏空间（半平面）上的保线映射的刚性问题，利用g-反射映射的特点，解决了在满射条件下的刚性问题。研究了双曲空间上的保共线关系的映射，利用欧氏空间几何理论以及射影几何理论，解决了其在没有满射条件下的刚性问题。这些结果为双曲空间、欧氏空间以及球空间上的保线映射的刚性问题研究，特别是局部区域上的保直线映射刚性问题研究提供了新的起点。Klein 群作为当今世界主流数学中的一个充满活力的研究分支，与Riemann 曲面、双曲流形、复动力系统、Teichmüller 空间等理论密切相关，一直受到许多数学家的关注。Klein 群以及群中元素（M？bius 变换）在双曲空间及其边界（紧致球空间）上的作用特点就是一个相当重要领域，这种空间映射的保圆、保角和保交比等性质在许多领域有重要应用。欧氏空间上著名的仿射几何基本定理就是研究空间映射（仿射变换）和具有直线保持性质映射的关系。