中文摘要：

可积系统的研究是非线性科学的重要方向之一。非线性可积系统不仅在数学物理、理论物理、统计物理乃至凝聚态物理这些自然科学领域中有着广泛的应用，在现实生活与实践中也处处存在。因此，人们在讨论一些经典可积系统的同时，积极致力于寻找新的可积系统。由于非线性理论的复杂性，新可积系统的寻找十分困难。本项目针对已获得的正可积系统，从负方向进行分析和研究。寻找负向的Lenart算子，建立势函数与Lenart梯度间新的约束关系，进而得到负可积系统。通过负可积系统对应的1+1维非线性方程，得到高维非线性方程。同时，将新的负系统与原正系统的做比较，寻找二者间的联系，拟在此基础上构建更丰富的非线性方程族。最后，给出所得非线性方程的解并进行计算机模拟。本项目通过对具体非线性系统进行讨论，拟从中总结出一般规律，为更广泛更深入地研究非线性系统提供参考，为实现其现实应用提供指导。

结论摘要：

本项目在已知正可积系统的基础上，利用Lenard算子，构造负向Lenard递推方程，进行负向分析和研究，得到了一些负可积系统及相应的混合可积系统。对所得非线性方程，通过等谱族将其分解，利用Abel-Jacobi坐标得到方程的参数解，利用Riemann反演得到方程的代数几何解。项目的开展分为两个阶段第一阶段主要讨论连续系统（如KN系统、AKNS系统），第二阶段主要讨论离散系统（如Toda系统、Volterra系统）。 在讨论KN系统时，由于其负向可积系统已经得到，研究重点放在方法上。我们给出了两种得到负可积系统的研究思路由正向Lenard算子得到负向Lenard递推方程和由负向KN谱问题得到的Lenard算子得到的负向Lenard递推方程。虽然二者的Lenard算子对不同，得到的Lenard序列及向量场也不同，但最终给出的方程族一致，方程族对应的有限维Hamilton系统也一致。这一现象有普遍性，为研究负向系统的方法提供了两种不同的选择。在项目进行中，一大困难是负向Lenard递推方程的解不能由原有位势显式给出。上述四个系统中除KN系统外都存在这个问题。我们在处理这类问题时，将负向Lenard递推方程的解形式设出（即新位势），找到形式解的适当约束，得到负向可积系统。在这种情况下混合系统将出现两种形式通过运算消去新位势得到的，只含原位势的混合方程族；及一般的含有原、新两种位势的混合方程族。目前，对于连续系统的研究较为完整，一般可将所得方程的代数几何解给出；而对于离散系统，给出所得方程对应的辛映射和Hamilton系统的Jacobi反演问题，其代数几何解的求得还存在困难，需在今后的工作中进一步研究。