中文摘要：

着重研究几类具有某些典型特征结构的奇异摄动微分方程初值问题（含时滞、振荡、高指标、混合型、小时滞和消去型、多刚性、多参数奇异摄动问题）、高指标时滞微分代数方程和其它刚性问题的稳定性及其数值方法在定、变步长情形下的稳定性、保结构性、定量误差分析及长时间误差分析。解决在这些问题的理论分析和数值求解上所遇到的一些重要和困难的理论、算法和应用问题，进一步丰富和发展刚性微分方程的算法理论。以所获理论结果为指针，改进已有的求解这些问题的算法，构造新的适用于这些问题类的高效保结构算法并有效实现，为科学工程计算及实时数字仿真服务；并将所获的部分理论结果和高效算法进一步推广、应用到其它相关问题。从实质上推动奇异摄动初值问题的理论与数值方法的研究。

结论摘要：

本课题着重研究了求解几类具有某些典型特征结构的奇异摄动初值问题（如多刚性、高振荡、可分或时滞奇异摄动问题等）、变延迟二指标微分代数系统、刚性问题（如刚性振荡问题、2阶刚性（延迟）微分方程、可分非线性多刚性问题、刚性脉冲微分方程、刚性时滞微分方程等)、高振荡问题(如振荡Hamilton系统)的数值方法（含变分迭代方法）的线性和非线性稳定性（如代数稳定性、收缩性、渐近稳定性、R-稳定性、P-稳定性、IS-稳定性等）和散逸性分析、定量误差分析及保结构性，获得了一些有意义的新性质、新成果。以所获理论结果为指针，构造了一些B-收敛或定量收敛的高效算法或并行算法（并行两步W-方法、并行多步混合方法、单调隐式RKN方法、两类三级P-稳定MIRK公式、高精度Hagedorn波包算法、两类指数拟合的并行多值混合算法EF-II-2和EF-II-3、一些最佳B-收敛的叠加RK方法、隐显单支-线性多步方法、保辛保能量的参数化PRK方法等）。同时对（中立型）泛函微分和泛函方程、随机（时滞）微分方程及其数值方法的稳定性、散逸性及误差分析进行了许多研究，获一系列新结果。所获成果创新、改进或推广了已有文献的相关结果。进一步将所获的部分结果和算法推广和应用到了分数阶微分方程的理论与计算及CO2埋藏问题中对流扩散过程的数值模拟等实际问题，获得了关于分数阶微分方程基本理论、分数阶动力系统混沌吸引子生成方法、几类分数阶常或偏微分方程数值方法（包括差分方法、三次样条配置方法、变分迭代方法等）误差和稳定性分析等方面的许多结果。特别是对于分数阶变分问题，构造了变分积分子，进行了局部误差分析；这在国内外此类工作中是最早的。