中文摘要：

测量构成了理论与物质世界之间的桥梁，是获得信息的重要途径，也是技术应用的关键环节。近年来，压缩采样引起了数学界与图像处理领域广泛的研究兴趣，为更好更快的获取信号提供了新的方法。作为一种信号测量方法，压缩采样的原理和实现有着深刻的物理背景，与物理规律有着紧密的联系。本项目主要研究压缩采样的物理本质，探索实现压缩采样所对应的物理过程，为压缩采样的物理实现、压缩采样方法在量子测量及其他领域的推广应用提供理论依据和一般方法；在此基础上研究压缩采样方法在量子测量中的应用，减少某些量子信息实验的测量次数及资源消耗，以推进量子信息学的实用化进程。实验上对压缩采样给予物理实现，在量子光学系统中用压缩采样方法进行关联成像实验和量子态的层析及量子过程层析实验。

结论摘要：

压缩采样方法基于信号的稀疏特性，可以在远低于Nyquist 频率的采样率下，准确地恢复原信号。近年来引起了数学界与图像处理领域广泛的研究兴趣，为更好更快的获取信号提供了新的方法。压缩采样在量子层析及量子成像领域的应用也引起了越来越多的关注。 本项目着眼于压缩采样在量子测量中的应用，主要研究了压缩采样各项条件与量子体系性质及量子测量间的对应，研究了压缩采样在量子层析及量子成像中的应用，实验实现了基于压缩采样的量子态层析和赝热光关联成像，并探索了与压缩采样相关的关联成像基本问题等。 取得的主要成果有（1） 探讨了压缩采样的物理对应 压缩采样能从更少的测量重构信号的根源在于将信号稀疏性作为先验信息。对量子态和量子过程，稀疏性对应于表示矩阵低秩。压缩采样对测量的非相关性要求实际是要求每次测量都有新信息，即各测量算子线性无关。（2） 首次实验实现了压缩采样量子态层析 从压缩采样重构算法的物理意义出发，提出了熵最小化和似然函数最大化两种基于压缩采样的量子态重构算法，并进行了实验和数值模拟验证。对纯态或近纯态采用压缩采样方法可以获得很高的保真度，所需测次数比标准量子层析方法要少得多。对于四量子位纯态，所需测量次数少于标准方法的25%. （3） 实现了压缩采样关联成像 赝热光关联成像中，赝热光场的时空随机分布正好提供了压缩采样所要求的随机测量。任一时刻桶探测所得结果即为物体各像素图像的一组线性组合，组合系数由该点处的光强决定。将压缩采样应用于赝热光关联成像发现，可以从更少的测量得到信噪比更高的图像，且分辨率可提高2倍以上。（4） 关联成像基本问题探索 针对压缩采样对测量随机性的要求，从等概概假设出发导出了赝热光场中的光强所满足的分布。提出了一种新型赝热光源构造方案，比现有赝热光源作用距离更远，成像速率更高，且可以主动调制利于将来压缩采样算法的优化。同时，讨论了光场二阶关联在关联成像中所起的作用，并给出量子成像随光子数增加其成像效果的变化规律。 以上研究成果能够帮助深入理解压缩采样的物理本质，实现了压缩采样在量子层析和量子成像中的应用，能够促进相关研究的实用化进展，对于压缩采样在量子信息乃至其他科学实验中的推广应用有较好的指导意义。