中文摘要：

多元理想插值问题作为一元Hermite插值问题的自然推广，是目前国际上多元多项式插值研究的最热点问题. 多元理想插值问题与逼近论、交换代数、代数几何、线性代数以及PDE理论均有密切关联，其研究既需要上述理论的支持，也必将对上述理论本身的研究产生重要影响. 本项目将以构造性代数方法为核心，结合以上各类理论，研究多元Hermite射子的判别准则及算法；逐点收敛于多元Hermite射子的Lagrange射子列的构造算法；多元Hermite插值具有"好"的误差余项的条件以及更适合多元Hermite插值问题的误差余项的表述；特殊节点集合上理想插值的插值基和对应理想基的理论描述以及计算零维理想理想基和理想商基的快速算法. 上述研究将使得我们向完全解决多元理想插值问题迈出坚实的一步.

结论摘要：

插值问题是计算数学中的基本问题，插值作为重要研究工具在微分方程数值解法、计算机图形学、计算机图像处理等领域发挥重要作用。本项目对目前国际上多元多项式插值研究的最热点问题——多元理想插值问题进行了深入研究。在Lagrange插值方面，提出了广义tower点集的概念，理论上给出了二元、三元广义tower点集上的Lagrange插值在常用单项序下的单项基和牛顿基，在此基础上给出了相应Lagrange插值多项式的计算公式；先后提出了利用tower和广义tower点集改造Farr-Gao算法的策略，给出了计算二元、三元消逝理想Groebner基的快速算法；提出了基于广义二元tower点集的Buchberger-Moeller算法预处理策略，提高了原算法的效率；讨论了具有唯一单项商基的Lagrange插值节点组的几何分布判别准则；给出了Cartesian节点集上的Lagrange插值的“好”误差公式；研究了多少个N维多项式空间构成平面上任意N个插值节点的Lagrange插值空间，且其中必有一适定插值空间的问题。Hermite插值方面，研究了经典Hermite插值射子和一类新的射子的Lagrange离散问题；证明了de Boor猜想对偏导型Hermite射子成立。同时，我们还研究了一个Birkhoff插值的猜想，证明了其仅在复数域成立。另外，我们也研究了插值在相机标定和生物计算方面的应用。