中文摘要：

本项目应用非线性分析领域的变分方法和拓扑方法研究若干具有变分结构的非线性微分方程的可解性、多重解的存在性以及解的几何、分析性态。拟对半线性椭圆方程的跳跃非线性问题与Fucik谱的结构、单边指数增长以及临界增长的Ambrosetti-Prodi问题、非线性椭圆分歧问题的解集结构和解的确切个数问题、P拉普拉斯方程的多重解、哈密尔顿系统周期问题、双调和Henon型方程极小能量解的存在性及几何性态等非线性变分问题进行深入研究。本项目的选题切入国际非线性分析领域的研究前沿，所选问题是近年来国际上的热门研究课题，具有重要的理论意义和研究价值。我们期望通过对上述具体变分问题的研究，推进非线性分析理论与应用的发展。

结论摘要：

变分方法是国际数学研究的重要领域之一，所研究的对象是具有变分结构的非线性微分方程。这些方程来自数学物理、生物、工程、经济理论等非线性科学问题，具有重要的理论背景和应用背景。本项目应用极大极小方法、Morse理论、指标理论、分歧理论、极小化方法等非线性分析中的变分方法和拓扑方法研究了非线性变分问题的若干前沿课题。在对超线性椭圆方程的多解、半线性椭圆共振问题可解、椭圆方程的跳跃非线性问题和Fucik谱结构、渐近线性薛定谔方程的紧性、带有无界和衰减位势的薛定谔方程基态解、加权函数空间的Sobolev型嵌入定理、与Caffarelli-Kohn-Nirenberg型嵌入不等式有关的椭圆问题、奇异边值问题的变分框架与可解性、Hamilton系统等非线性变分问题进行了研究，取得了一系列的新结果。这些研究结果揭示了非线性变分问题的新现象，发展了变分方法的新理论，开辟了临界点理论应用的新方向，加深了对现代变分原理的理解，为下一步的继续研究打好了基础.