中文摘要：

本课题借助于非线性泛函分析的临界点理论、拓扑度理论以及半序理论，结合椭圆方程的各种先验估计和调和分析的若干技巧，研究具有强非线性的椭圆方程解的存在性、正则性、唯一性以及多重性、渐近性等基本性质。 强非线性是指具有边界非线性,Sobolev临界、超临界指数增长的非线性,以及奇异非线性等,椭圆方程主要指拉普拉斯方程、p-拉普拉斯方程以及其他高阶椭圆方程，也包括变指数椭圆方程。主要研究在边界上满足某种非线性条件的椭圆问题的变分解以及非变分解；研究涉临界Sobolev指数的对称椭圆问题具有正能量的无穷多解，以及在具有某种对称性的区域上涉及超临界Sobolev指数增长的椭圆问题的变分解；研究具有奇异非线性的椭圆问题解的存在性和渐近性等性质。

结论摘要：

具有强非线性的椭圆问题是椭圆问题中最重要的部分.强非线性主要指边界非线性、临界和超临界Sobolev指数非线性、非局部项以及自由边界问题等。本项目研究了各种类型的带有边界非线性的椭圆问题的可解性和多解性，利用区域的某种对称性研究了具有临界和超临界Sobolev指数的椭圆问题的多解性，研究了具有非局部项的各种椭圆问题，以及自由边界问题的正则性等问题，得到了一系列结果。同时还研究了Lipschitz区域上的椭圆边值问题。在本项目的研究中，我们综合利用了变分方法、上下解方法、Morse理论以及拓扑方法、截断技巧、迭代方法以及椭圆正则性理论和调和分析技巧，克服了强非线性对问题带来的一些本质困难，我们的结果揭示了强非线性椭圆问题的某些特征，推广了已有的一些结果，丰富和发展了椭圆问题的相关理论。