中文摘要：

利用计算机，验证低阶图的嵌入分布单峰性猜想，同时结合根地图计数理论,系统研究三正则图的嵌入分布单峰性猜想。运用覆盖矩阵理论，联树嵌入理论等计算若干图类的嵌入分布。借助多项式理论与方法探讨环束等图类的嵌入多项式的根的分布。推广不可定向置换类，研究Dan Archdeacon猜想。讨论任意图平均亏格的下界的同时，研究已有图类的单峰点跟平均亏格的关系。这不仅直接关系到拓扑图论发展, 还将有力地促进曲面拓扑学，组合数学,及代数学的发展。

结论摘要：

本项目自立项以来，申请人按照项目的研究计划展开了研究，取得了下述成果。 一、对图的嵌入分布理论的研究 1. 证明了嵌入分布的结构性定理劈分定理，利用劈分定理解决了嵌入分布计算领域中长期困扰本方向的一些小直径图的嵌入分布问题。 2. 发展了新的研究途径计算图的不可定向嵌入分布，首次获得了经典图类如梯图、圈梯图、Mobius 梯图等重要图类的不可定向嵌入分布显式。并进一步地获得到了更一般的三正则图的嵌入分布如三正则外平面图、3 正则Halin 图等的嵌入分布。 二、对图的平均亏格的研究 1. 基于联树嵌入表示理论及覆盖矩阵表示理论给出了一种研究图的平均亏格下界的组合方法，采用嵌入劈分定理，对于不含有三种结构的禁用构型，采用拓扑加边方法与R-W 方法相结合的方案，推导出了不含有三种结构图的平均亏格以图的贝蒂数为的线性下界。 2. 系统地刻画了图的平均亏格少于一个固定常数C 的结构问题. 三、对低阶图验证了著名的嵌入分布单峰猜，并讨论了单峰点与平均亏格的关系。 四、对一些公开问题的解答 1. 利用嵌入图的“Gustin 表示”、覆盖矩阵理论、嵌入劈分定理及对称性构造出了无限多类不同构的3 连通简单图与k 边连通图而拥有相同的嵌入分布。这给出了美国Amherst 学院L. McGeoch 教授在其1987 年的博士论文第38页中的公开问题3 的肯定问答。 2. Snark 图是一类围长至少为5 的无3 边着色的圈4 边连通图。 著名拓扑图理论学者B. Mohar 在国际知 名学术刊物Combin. Prob. & Comp. 上提出了如下一个公开问题是否存在一个snark 图在Klein 瓶上有多边形嵌入。通过引入点积等运算，我们成功地构造了一系列图符合Mohar 的问题。我们的结果表明对任意的整数k，均存在一个Snark 图在任意亏格为k 的不可定向曲面均存在多边形嵌入。 3. 伽玛函数是常见于组合数学及概率论,统计学等中的一类重要特殊函数。我们通过研究小直径图嵌入分布，已知结果表明，它们渐近于与第一类Stirling 数，而它们与伽玛函、置换群特征标等密切相关。为此我们附带地回答了F. Qi 等在国际学术刊物Math. Ineq.& Appl.上的一个公开问题。