中文摘要：

Mandelbrot集和Julia集（简称M-J集）是分形发生学中的经典集合，其中的四元数M-J集属于高维分形集，是目前分形领域研究的一个热点。 本项目利用改进的逃逸时间算法、Lyapunov指数法、周期点查找法等方法对四元数M-J集的芽孢分布、稳定周期域的计算以及周期点和准周期点位置等一系列问题进行深入研究，总结四元数广义M-J集随部分参数改变而产生的拓扑变化及其拓扑演变规律；在M-J集的应用方面，充分利用M-J集由少量参数即可绘制丰富图形的特点，探索新的图像编码算法和图像加密算法。 本项目的特色在于，利用计算机图形技术展现四元数M-J集的内外部结构，探讨四元数空间M-J集的拓扑结构特性和动力学特征；利用四元数M-J集的特点，对其在图像编码和图像加密技术中的应用进行有益的探索与尝试。

结论摘要：

Mandelbrot 集和Julia 集（简称M-J 集）是分形发生学中的经典集合，其中的四元数M-J 集属于高维分形集，是目前分形领域研究的一个热点。本课题组研究了受动力学噪声扰动的四元数广义M-J集的拓扑结构，发现加性噪声扰动对运动的方向进行了干扰、影响了周期域的位置，而乘性噪声扰动对运动的速度进行了干扰、影响了迭代的速度。提出等势点算法，能够更为精确的刻画M-J集的内部结构，该方法依据碰撞次数绘制，能够体现M-J集的结构层次。研究了时滞迭代条件下的J集，分析了时滞动力系统的动力学特性，进而得出其稳定条件。在应用方面，利用M-J集较少参数即能产生丰富图像的特点，将其应用于图像处理技术中。提出基于M-J集的分形压缩算法，该算法具有较好的编码效率，尤其对于大图像，其编码时间相对于传统算法大大降低。另外，提出了基于J集和分形压缩字典的加密算法，具有较大的密钥空间，具有很好的明文和密文敏感性，能够抵御选择明文攻击和已知明文攻击。