中文摘要：

高维仿射李代数是一类非常重要的李代数，受到国内外李代数专家和物理学家们的广泛关注，它的研究对于推进无限维李代数的内容具有重要意义。该项目旨在对A型的高维仿射李代数TKK代数和由量子环面得到的高维仿射李代数进行研究，讨论它们的子代数（包括极大子代数和有限维子代数）、自同构群、导子（包括模上的导子），进而研究其对应的李双代数结构；同时考虑它们的表示，包括有限维不可约表示、顶点表示、Boson表示、Fermion表示和酉表示等。通过我们的工作，为解决一般的高维仿射李代数对应的李双代数问题作好铺垫，并为完整确定其有限维不可约表示的分类问题提供必要的支持，以达到丰富高维仿射李代数研究内容的目的。

结论摘要：

本项目主要围绕TKK代数和由量子环面得到的A型高维仿射李代数的结构和表示问题展开研究，我们考虑如下的六个问题一是这两类高维仿射李代数的极大子代数问题，我们研究了包含一个固定Cartan子代数的极大子代数的分类问题；二是对TKK代数对应的A型高维仿射李代数的自同构群进行研究，已经取得部分结果；三是这两类高维仿射李代数的有限维子代数和模上的导子问题，我们对国外早期的研究方法进行分析，从其有限维子代数入手作一些有益的探索；四是不可约表示方面，试图作出带有一些限定条件的部分分类结果；五是顶点表示方面，研究由量子环面得到的A型高维仿射李代数上的顶点表示；六是考察不同的虚Verma模结构。