中文摘要：

提出哈密顿对偶体系的高阶乘法摄动方法，以求解相关变系数及非线性问题。利用大量小量分离技术及摄动变换，建立线性变系数一阶常微分方程组的高阶乘法摄动法，并推广到非线性问题。由于传递矩阵为一系列指数矩阵之积，可用精细积分法计算，故此摄动法具有很好的精度和效率，随着摄动次数的提高，能得到任意精度的摄动解答。对于哈密顿系统，此摄动法为一种高阶保辛摄动方法。此外，提出一种变系数增维方法，由于将增维方法与高阶乘法摄动相结合，突破了传统"常系数"增维的限制，在保持精度的同时提高了计算效率。建立变系数两点边值问题的一种高精度和高效率解法。最后，将高阶乘法摄动方法与子结构方法相结合，应用于非线性结构动力方程、功能梯度材料板热力分析及奇异摄动边值问题。本项目丰富了哈密顿对偶体系的计算方法和内容，具有重要的理论意义；同时还为许多工程问题提供了一种高精度方法，因此也具有广泛的应用前景。

结论摘要：

大量的科学和工程问题可归结为时变动力系统，因此相关高精度和高效率数值方法的研究具有重要的理论和应用意义。本项目基于哈密顿对偶体系，对时变动力系统的高阶保辛算法展开研究，并取得以下成果。一、提出并完善了时变动力系统的高阶乘法摄动方法，并进行了算法优化。首先，对于线性时变动力系统，利用大量小量分离的技巧和摄动变换，将其转化为一系列求解精度更高的摄动系统，并由此得到原系统高阶精度的解答。由于这种方法的传递矩阵为一系列指数矩阵之积，因此可用精细积分法高效、精确地计算，这就保证了此高阶摄动法具有很好的精度和效率，随着摄动次数的提高，该方法能得到任意精度的摄动解答。对于哈密顿系统，此摄动法本质上为一种高阶保辛摄动方法。其次，对于非线性动力系统，提出了一种“渐近线性化”的方法，并对渐近线性化后的动力系统采用高阶乘法摄动方法进行求解。第三，对于非齐次时变动力系统，提出了一种变系数增维方法，通过将未知状态向量增加1维的方法，将原有的非齐次动力方程转化为高一维的齐次动力方程，并用高阶乘法摄动法求解。该法突破了传统精细积分法中增维方法必需保持动力系统系数矩阵定常这一限制，将变系数增维与高阶乘法摄动法有机地结合起来，形成一种高效的求解方法。二、修正了非传统哈密顿变分原理，并在此基础上建立了一种2n阶的辛算法首先，结合动力学初值问题的特点，对原有非传统哈密顿变分原理进行简化，使作用量由原来的5项简化为3项，极大地简化了应用。其次，将位移和动量作相同的拉氏展开，由修正的非传统哈密顿变分原理，建立了一种2n阶的辛算法，同时还给出了相应的牛顿-拉佛森迭代初值的优选方案。此外，本项目还证明了由哈密顿型变分原理所建立的算法未必都是辛算法这一结论，纠正了长期以来许多学者认为的“哈密顿型变分原理所建立的求解动力系统的数值方法均为辛算法”这一误区。第三，将上述辛算法应用于结构动力学方程，建立了一种无条件稳定、超调性能好、高效的4阶算法。本项目所取得的以上成果，丰富了时变动力系统的高精度和高效率算法，不仅具有重要的理论意义，也具有广泛的应用前景。