中文摘要：

我的研究包含两个不同的方向, 一是几何热流中第一类奇点的研究; 二是关于辛几何,量子上同调,与镜像对称猜测方向的研究. 然而在这两个不同的方向中,都要涉及到内在紧密联系的分析问题. 这就是本项目称为"流形上的分析"的原因. 关于第一类奇点, 我们将讨论调和映射中自相似解在无穷远的渐进行为,最终构造一个在紧流形上有限时间内发生第一类奇点的热流. 解决这个问题的方法将可得到高维杨-米耳斯方程热流中第一类奇点相应的结论. 第二个项目是与阮勇斌教授(Univ.Wisconsin at Madison)的合作项目. 正在进行中的问题是构造E.Witten 在其文章"Algebraic Geometry Associated with Matrix Models of Two Dimensional Gravity" 中提出的相应超位势E_n, D_n, A_n 的量子上同调群. 涉及到模空间的紧性.

结论摘要：

在关于秩一的非正曲率cocompact流形的Martin 边界的猜想中，我们取得了重要的进展，文章发表在2007年Trans. Amer. Math. Soc. 上。在量子奇点理论与镜像对称方面取得了重要的工作。通过研究对应于超位势函数W的WItten方程，我们成功的构造了W曲线模空间上的Virtual fundamental cycle。并且证明这些cycle满足经典的Picard-Lefschetz理论中Vanishing Cycle所满足的变换公式，从而得到所谓的量子奇点理论。进一步可构造新的Virtual fundamental cycle.这些cycle满足类似于GW不变量所满足的公理，并构成CohFT。对应的亏格0 的三点函数可以赋予奇点一个量子环的结构。作为重要的应用，我们可以证明Witten的自镜像对称猜测。在P8时证明LG模型下的镜像对称猜测。三篇文章都贴在arxiv网站上。