中文摘要：

项目拟合作研究以下三个密码学中的计算代数问题: 1．研究构造正规基，利用椭圆曲线群结构与快速傅里叶变换，设计有限域上的快速乘法计算，以实现快速gcd算法及有限域的软件和硬件优化。 2．对传统密码系统的攻击算法，许多可归结为求解二元域上的超大型线性方程组。提高算法成功概率的一个办法是使用区组方法。申请人与牛津大学的Brent及Lauder曾研究有限域上的随机Krylov空间，其结果对分析区组方法有用。拟研究区组方法对求解有限域上超大型线性方程组的有效性及攻击AES密码系统的实用性。 3．优化Paulus的格约化算法来找出理想极小元，以构造计算C_(ab)曲线上的群运算以及标量乘快速算法；研究曲线y^2+h(x)y=x^(2g+1)-ax-b及C_(ab)曲线的基域或其扩域上构造（优化）正则基，以达到快速计算这两类曲线上的群运算及标量乘运算的目的。同时研究相应的离散对数问题。