中文摘要：

有限域上的生成元问题是计算有限域论的一个基本问题。该问题的研究内容是如何寻找一个尽可能小的有限域（乘法群）的生成元集，或者更特别地，寻找一个本原元。然而，即便是判定有限域中任意元素是否是本原元也是困难问题。因此，判断一个很"小"的集合是否是生成元集具有基本的意义。特别地，有限域上的生成元问题在编码理论，密码学，图论等众多领域有丰富的应用。在有限域上的多项式代数中，它对应于一类多项式分解问题，而此分解问题与Reed-Solomon（RS）码的译码过程密切相关，进而在诸如RS码的译码计算复杂性等问题中有重要应用。在图论中，此问题对应于一大类在通讯网络中有重要应用价值的正则图的直径估计问题。本项目将在已经取得的工作基础上，进一步深入研究有限域上的生成元问题，特别是其在编码理论，密码学与图论中的广泛应用。

结论摘要：

有限域上的生成元问题是计算有限域论的一个基本问题。该问题的研究内容是如何寻找一个尽可能小的有限域（乘法群）的生成元集，或者更特别地，寻找一个本原元。 此类问题在编码理论，密码学，图论等众多领域有丰富的应用。 本项目在有限域上的生成元问题上以及更一般的子集和问题上取得一序列进展，我们得到了计数有限交换群上给定和的子集个数的精确公式，以及得到了一些相关的在组合数论和理论计算机科学等领域的应用。