中文摘要：

研究一些特殊类型的代数函数域如Artin-Schreier函数域，Kummer函数域的理想类群，除子类群，有理点个数，Zeta函数等相关问题。运用类域论，对理想类群和除子类群的结构作更深入的研究。在Kummer函数域和Artin-Schreier函数域理想类群Redei-Reichardt公式的基础上，使用解析技巧，研究关于理想类群第二个不变量分布的Cohen-Lenstra 预测。通过使用特征和，对曲线的有理点个数进行估计，以此来研究Drinfeld-Vladut界。寻求合适的代数曲线，来构造性能良好的代数几何码。尝试用更一般的Kummer函数域和Artin-Schreier函数域的理想类群来构造Diffie-Hellman类型的密钥交换协议以及公钥密码体系和ElGamal类型的数字签名协议，改进前人利用二次函数域理想类群构造的相应的密码体系。

结论摘要：

本项目对整体函数域及其应用进行了深入研究。对于一些典型的代数函数域如Artin-Schreier函数域，Kummer函数域，研究了理想类群，除子类群， Zeta函数等相关问题。对整体函数域的几个重要问题——Capitulation问题、Stufe问题和Pell方程的整数解问题进行了探索。利用有限域上指数和与高斯和的理论，对Euler多项式估计和矩阵群中高斯和估计等问题进行了研究。将和式的p-进展开推广到多重和式的情形，证明了p-进Hurwitz-Type Euler Zeta函数与p-进Diamond-Euler Log Gamma函数的一些有趣的性质。给出了有理函数域中推广Rédei矩阵的定义，以及Kummer扩张、双二次扩张以及Artin-Schreier扩张下推广Rédei矩阵的表达式，并在此基础上给出了对椭圆曲线离散对数密码系统进行Weil descent代数攻击的有效方案。