中文摘要：

该项目主要研究传输不等式中的若干问题。在扩散过程情形下，我们着重研究使得传输信息不等式（p＝2）成立的Lyapunov条件，并与已有各种泛函不等式的Lyapunov条件刻画相比较，探讨log-sobolev不等式是否严格强于这类传输信息不等式。对于混合分布，我们将运用耦合方法以及传输不等式的Lyapunov条件刻画，研究在被混合分布满足传输不等式的情况下，混合分布是否依然满足传输不等式并给出其最佳常数估计。对于具有有限状态的马氏链如图上的随机漫步模型，我们将研究关于该模型的传输不等式，给出其最佳常数估计，并探讨其与马氏链收敛到平稳分布的速度的关系。

结论摘要：

在这个项目里，我们主要研究了各种情形下的泛函不等式，尤其是在马氏链和图的情形下的泛函不等式。1）对于直线上的生灭过程，我们通过求解possion方程，计算其生成算子的lipschitz范数，得到了相应的传输不等式，并且得到了集中不等式，Cheeger型等周不等式。此外，我们还通过Lyapunov试验函数的方法，来对平方场算子进行估计，从而用不同的方法得到了相应的泛函不等式。对于具体的模型如排队模型等，我们利用不同的方法给出了具体的不等式常数的估计。2）进一步我们研究了树上的生灭过程，这比直线上的情形要复杂，所用到的方法也不一样。3）更一般地，我们得到了图上的泛函不等式。4）由于在处理离散情形下的泛函不等式缺乏有效方法和工具，对于不同的模型，我们不得不采用不同的方法，显示出很强的技巧性，这也是离散情形的研究困难所在。由于ricci曲率对于连续情形下的泛函不等式的研究非常有用，所以我们通过耦合方法在离散情形下定义了一种新的ricci曲率，从而在一般情况下得到相应的泛函不等式。5）对于直线上常见的一些分布，我们得到了相应的最优传输函数。6）研究了关于具有Poisson测度的排队模型的泛函不等式。对于具有Gibbs测度的Glauber动力系统，我们在Dorbrushin条件下得到了相应的泛函不等式。7）对于球上的调和测度，我们得到了相应的对数sobolev不等式和poincare不等式。