中文摘要：

图谱理论是图论研究的重要领域之一,它的研究对象主要包括图的邻接谱、拉普拉斯谱、规范拉普拉斯谱、无符号拉普拉斯谱等。图谱理论在理论化学、计算机科学、物理学和数学等学科有广泛的应用,基于图谱理论的广泛应用背景和理论价值，所以对各种谱的研究仍很必要。我们的研究内容包括以下几个方面（1）研究赋权图的特征值，推广图的特征值的若干结论；（2）将随机图的性质及理论和代数图论的知识结合起来，研究图的规范拉普拉斯特征值及其与图的某些参数之间的关系；（3）利用代数、矩阵论等理论并结合图论和组合数学的理论来研究图（包括赋权图）的拉普拉斯特征值和无符号拉普拉斯特征值，进一步解决D.Cvekovic等人提出的若干猜想。我们希望通过本项目的研究，进一步为图谱理论在理论化学、计算机科学、物理学及数学等学科的广泛应用提供理论依据和可实用方法。

结论摘要：

本项目研究分两部分内容。第一部分主要集中在对图的laplacian特征值，无符号laplacian 特征值及normalized laplacian 特征值的一些性质及其与图的某些参数之间的关系的研究。我们得到了以下的成果 1.我们给出了图的normalized laplacian 最大特征值的三个下界。同时，我们给出了图的normalized laplcian 特征值与图的度序列之间的关系； 2.讨论了移边对图的normalized laplacian 最大特征值的影响,根据这些结果，我们延伸了 Li Hong-hai的结果； 3.研究了符号图的normalized laplacian 特征值的一些性质； 4.我们讨论了树的第二小normalized laplacian特征值与瓶颈矩阵的Perron value之间的关系，并且对具有完美匹配图的normalized laplacian 特征值进行了排序； 5.研究了最小无符号laplacian 特征值删点，剖分边和移边的情况下是如何变化的及正则图交的无符号laplacian特征多项式的一些性质； 6.讨论了二部双圈图的laplacian 系数，确定了点数固定的双圈图中laplacian 系数最小的图； 7.给出了距离谱，距离laplacian谱及无符号距离laplacian 谱的完整刻画，并对2013年Aouchiche and Hansen 提出的问题“Can every connected graph be determined by its distance Laplacian spectrum and/or distance signless Laplacian spectrum?”给予了回答； 8.研究了删点集对无符号laplacian 谱的影响，给出了删点集插值定理。另一部分只要集中在对随机图一些模型的讨论，我们得到了以下结果 1.给出了演化网图模型度分布、度分布尾部估计式； 2.构建的模型随着期望删边比例的增加，渐近度分布依次具有幂律-广延指数分布-指数分布的尾部； 3.构建了一类广义生灭过程，给出了其存活后代数的有关条件分布，特别的，对已知生卒时刻的任意个体，给出了任意时刻存活后代数的分布。