中文摘要：

本项目旨在研究某些奇异非线性扩散方程解的行为。这种方程能够用来描述渗流理论、相变理论、等离子物理、生物群体动力学等许多领域中广泛存在着的扩散现象.由于方程中可能出现多处奇性和多种非线性，所以在研究过程中需要根据方程的特点选择合适的研究框架和理论工具，这将促使研究工具和方法的不断拓展和创新。经过某种变换，由上述扩散方程可导出一些奇异椭圆方程，其明显特点是低阶项有奇性且关于梯度有自然增长，其边界爆炸问题已经是有关椭圆方程研究的热点问题之一。更为重要的是，这些椭圆方程的理论研究成果将成为研究非线性扩散方程的重要工具。拟研究奇异非线性扩散方程解的存在唯一性以及解的各种性质，如局部化、死核、长时间渐进行为等；研究相关椭圆方程正解存在性、多解存在性等.

结论摘要：

本项目旨在研究某些奇异非线性扩散方程(组)解的行为。 这种方程能够用来描述渗流理论、相变理论、等离子物理、生物群体动力学等许多领域中广泛存在着的扩散现象.主要研究了以下内容（1）奇异椭圆方程解的存在性以及多解存在性等；（2）奇异抛物方程解的唯一性及解的性质如长时间渐近性等（3）扩散方程（组）解的性质如大时间行为、稳态解的存在性等。 项目组已按照计划基本完成预期目标，在国际期刊上发表论文13篇，其中有11篇论文被SCI检索。主要结果阐述如下 (1)研究了一类低阶项有奇性的热方程.对一维情形，证明了最大的正经典解的存在性和多个弱解的存在性，并得到了解的长时间渐进行为以及解关于方程中某个参数的 渐进行为等方面的结果. (2)研究了一类非散度型退化抛物方程的某种粘性解（非Lions意义下的）.受Caffarelli和Vazquez思想的启发，证明了某种粘性解的存在惟一性.其中关于惟一性方面的结 果补充了相关工作(European J Appl Math, 7(1996), 453–471). (3)研究了奇异椭圆方程解的存在性、多解存在性和不存在性. 研究了一类奇异半线性椭圆方程Dirichlet问题。利用正则化方法，证明了最大弱解的存在性；通过研究相应的径向微分方程，证明了多个弱解的存在性；给出了解不存在的充分条件，还对一个特殊情形给出了解存在的充分必要条件，这些结果是对相关工作(如Journal of Differential Equations, 246(10)(2009), 4006-4042; Rev. Mat. Iberoamericana 24, (2008), 597-616)的重要补充或改进。 (4)研究了某些非线性扩散方程正稳态解的存在性及其性质等问题。 研究了一个核反应堆模型的正稳态解，这个模型可由一类扩散方程组描述.证明了某种条件下正稳态解的惟一性；得到了正稳态解关于某个参数的渐进行为方面的结果.这些结果推广或改进了已有相关工作(J.Differential Equations(246(1)( 2009),358-37)). 完整地给出了一类反应-扩散方程组Neumann边值问题正稳态解存在的充分必要条件．