中文摘要：

构造和研究数值求解Navier-Stokes方程的高效、稳定数值方法无论是在数学上还是在工程实践中都具有重要的意义。本项目（1）针对建立在由R.Temam等人提出的惯性和近似惯性流形理论上的惯性算法的缺陷，在时滞惯性流形基础上，研究N-S方程的耗散特性，充分考虑系统的耗散特性及力学系统的因果性，进而建立一种全离散的时- - 空耦合多水平算法，使得如此建立的离散系统具有与连续系统相似的耗散结构，从而使算法具有良好的精度与稳定性；（2）系统解的长时间行为体现在系统吸引子的结构上，我们试图使建立在时滞惯性流形基础上的时- - 空耦合多水平全离散N-S方程逼近系统具有与连续系统相似的吸引子结构，即离散动力系统吸引子处在连续系统吸引子的一个很小的邻域内，从而使得算法是一个稳定的长时间格式，为长时间模拟N-S方程和湍流提供有力工具。

结论摘要：

本项目在以下两个方面做了一些工作1）在耗散系统时滞惯性流形的理论框架下, 充分考虑解的大小涡分量的相互作用, 提出了一种能够在一定程度上反映解的大小涡分量间相互作用的新的空间分解, 在此基础之上, 得到了建立在这种空间分解意义之上的两水平算法. 由于在空间分解时就充分考虑到大小涡的相互作用以及这种相互作用随时间的发展, 因而我们得到的两水平算法是一种具有弱耦合特性的两水平算法, 该算法易于数值实现同时具有与传统方法相同的收敛阶；2）以叶轮机械叶片最优几何形状设计问题为研究背景，在前期研究的基础上, 提出了叶片形状最优几何形状设计的数学模型，并研究了与之相应的一些数学问题及相应的算法.