中文摘要：

本课题主要研究定常 Navier-Stokes 方程的形状最优设计问题。定常 Navier-Stokes 方程的形状最优设计问题是一个有着实际工业背景的课题，也是当今国际数学界非常注重的一个课题，它蕴含着丰富的内容，尚有不少的问题急需解决。本课题将致力于下面这些研究为了得到形状最优设计问题解的存在性，我们将寻找一些在Haudorff度量下收敛的区域族，然后分析最优解所对应的最优区域的有利于实际计算的某些必要条件或者充分必要条件，最后用数值计算的方法将我们得到的结果应用于实践。

结论摘要：

我们研究了定常 Navier-Stokes 方程的形状最优设计问题. 具体内容包括: 1. 我们得到了一些在 Hausdorff 度量下收敛的具有一致内外球性质区域族以及具有 CM 性质的区域族, 并且证明了它们是紧度量空间, 并且还证明了具有一致内外球性质的区域还具有一阶但是不具有二阶的光滑性, 在以上基础上我们还研究了内外球区域族上的偏微分方程的形状最优设计问题, 特别的, 这个问题还适用于定常 Navier-Stokes 方程的形状最优设计问题. 我们得到了以上提到的区域族上的形状最优区域的特征, 即它也具有一致内外球性质. 2. 我们研究了具有一致内外球区域族的边界 Hausdorff 测度在 Hausdorff 度量下的收敛性, 在此基础上我们还得到了区域边界上的形状最优设计问题的解的存在性. 3. 我们还得到了具有一致内外锥性质的区域族也是紧度量空间, 并且在其上研究了 p-Laplace 方程的形状最优设计问题的解的存在性. 4. 研究期间, 我们还开展了对 Laplace 第二特征值问题的零点线问题进行了研究, 得到了在非凸区域上的零点线的一些结论.