中文摘要：

结合分形几何、符号动力系统、Tiling理论以及词上组合等领域的方法和技巧，本项目研究代换动力系统与分形 Tiling 的结构。特别的，我们将从词上组合的角度来研究代换序列的组合性质；以可逆Pisot代换系统的谱性质为突破口来研究Pisot猜测，并考虑相同关联矩阵对应的不同代换动力系统之间的关系；在已有工作的基础上，研究平面自仿 tile 边界的拓扑性质和参数化问题；考虑四个字母上的Pisot代换生成的Rauzy分形的有关性质。项目研究的内容为几个相关领域的交叉点，我们将着眼于研究代换性/自仿性/图递归性在各相关领域的相同与不同的体现。

结论摘要：

项目研究代换动力系统和分形Tiling的结构问题. 通过综合分形几何、符号动力系统以及词上组合学等方面特点和技巧，在已有研究的基础上，能推动这些领域的发展并可望开辟新的研究领域。 重分形分析, 非齐次Diophantine逼近等问题是动力系统以及度量数论的研究中的重要课题, 理解分形Tile的性质, 特别是拓扑性质这一问题与许多问题都有密切的关系, 比如谱集猜测等. 另外, Hausdorff测度以及有限符号序列的复杂度的精确计算也是相关领域中的困难问题, 相关研究往往只涉及到上下界的估计. 迄今为止, 并没有Hausdorff 维数是大于1 的非整数的集合的Hausdorff测度被精确计算例子, 也没有系统的研究课精确表出复杂度的非平凡的例子. 我们以 $\beta$ 展式为一个重要的研究对象, 通过用具有好性质的子系统逼近的原系统的技巧, 考虑了 $\beta$动力系统中的局部化的重分形问题, 比较了局部化的结果和经典结果. 我们研究了有限域上的形式Laurant 级数中的非齐次Diophantine 逼近问题, 表明在形式级数域与经典的实数情形下相关结果的异同点. 我们系统的研究了分形Tile 的性质, 通过推广焊接引理, 推广纤维的概念, 把相关的结论用于刻画高维的同胚于单位球的分形Tile, 平面的连续集的局部连通性, 自相似集合的割点和割集的研究中. 我们具体的研究了高于1维的Hausdorff测度的精确计算, 以及两个字母的代换的不动点的复杂度的精确表达式, 说明从有限个初值出发, 复杂度序列可以由递归的方式给出. 这些问题是分形几何和Tiling动力系统, 词上组合学研究中的重要的研究课题. 我们的研究将为相关问题的研究提供一定的思想和方法, 相应问题的解决将有利于推动分形几何, 动力系统和词上组合的研究.