中文摘要：

本项目旨在系统深入地研究具有广泛工程应用背景的杂交有限元方法的自适应理论及快速算法，为科学与工程计算提供高效、可靠的数值算法和科学计算软件。研究内容主要有 针对固体力学与结构力学分析中的杂交应力/应变有限元法，系统建立相应的后验误差理论；系统研究杂交有限元法基于后验误差的自适应算法的相关理论与算法实现；系统研究杂交有限元离散方程组求解的预处理技术，构造和分析相应的快速算法。

结论摘要：

大规模科学与工程计算要求高效率的数值方法，以实现在现有计算资源条件下，以尽可能小的计算代价获得较高的数值精度。作为科学与工程计算领域的核心问题之一，偏微分方程高效有限元方法的设计与实现，长期以来一直为计算数学和工程力学界热点关注。 本项目旨在系统深入地研究具有广泛工程应用背景的杂交有限元方法的相关理论及其应用，建立相应的后验误差理论，基于后验误差估计子研究相应的自适应有限元理论，构造和分析相应有限元离散方程组求解的预处理技术及快速算法。 项目在如下几个方面取得一些重要成果（1）对平面弹性问题的四节点杂交应力四边形有限元，分析了其超收敛性，并基于超收敛结果给出了重构型的后验误差估计子；（2）提出了新型的5至7节点过渡型杂交应力四边形元，提出了四边形网格加密／放粗算法以及基于过渡型杂交应力有限元的自适应算法；（3）对于已有的两种混合剪切投影三角形和四边形Reissner－Mindlin板杂交有限元法，建立了稳定性和收敛性理论；（4）提出了求解随机平面线弹性问题的杂交应力四边形有限元法，建立了相应的误差分析理论；（5）提出了平面弹性振动问题的半离散和全离散杂交应力有限元法，给出了稳定性和收敛性结果；（6）针对二维和三维二阶椭圆方程，提出和分析了一族新的杂交化间断Galerkin（HDG）有限元方法；（7）对二维和三维多孔介质流模型的多点流量混合有限元法提出了一种残差型后验误差估计子，证明了其可靠性和有效性；（8）对二维和三维线弹性方程，提出并分析了一类具有对称应力逼近的新型弱Galerkin（WG）有限元法；（9） 对Stokes方程，提出并分析了一类新型的保持速度无散特性的WG有限元法；（10） 对二维和三维变系数对流-扩散-反应方程，给出了两类混合有限元方法的残差型后验误差估计子，证明了其可靠性和有效性；（11） 针对对流-扩散-反应方程的中心混合有限元方法，提出并分析了一种基于残量型后验误差估计子的自适应算法；（12） 将BPX多水平预处理技术推广到求解二维和三维扩散方程的一大类非标准有限元法，包括杂交化的RT 和BDM混合元，HDG方法、WG方法、非协调CR元等，证明了BPX预处理子的最优性。（13）对二维和三维扩散方程的HDG和WG有限元方法，以统一的方式，提出并分析了了相应的两水平快速算法。