中文摘要：

Hamilton 系统的同宿解是非线性动力学中的一个重要研究对象,它在很多方面都有重要的应用,是动力系统中产生丰富动力学行为的源泉之一.本项目旨在运用非线性泛函分析中的临界点理论和变分方法来研究二阶微分方程(包括Hamilton 系统在内)同宿解的存在性和多解性问题.本课题重点是讨论Hamilton 系统的线性部分为不定对称矩阵且不满足强制性条件时对应的势函数在无穷远处分别为超二次位势,渐近二次位势,次二次位势时同宿解的存在性与多解性问题.此外对于一类带有阻尼项的二阶微分方程提出快同宿解的概念,并且证明在超二次位势和渐近二次位势条件下同宿解的存在性与多解性.我们的目标是经过努力,初步形成有一定特色的研究思路和体系,预期发表论文3-5篇.

结论摘要：

本项目按申请书计划进行, 完成了项目预期目标, 共发表论文11篇, 其中SCI索引10篇, EI索引1篇. 同宿解是非线性动力学中的一个重要研究对象, 它在很多方面都有广泛的应用. 本项目主要是利用临界点理论和变分方法讨论Hamilton系统, 带阻尼振动问题, 分数阶Hamilton系统和非周期四阶微分方程同宿解的存在性和多解性. 取得的主要研究成果为:(1)对于Hamilton系统, 研究了线性部分为正定对称矩阵且不满足强制性条件时, 对应的势函数在无穷远出分别为超二次位势, 次二次位势情形下同宿解的存在性和多解性问题; 同时对于带阻尼的振动问题, 利用临界点理论中的genus性质得到了当线性部分满足强制性条件时, 相应的势函数在无穷远处为次二次位势时同宿解的多解性结果; (2)对于分数阶Hamilton系统, 当势函数在无穷远处满足次二次位势增长条件时, 讨论了线性部分满足强制性条件或者有界性条件下同宿解的存在性和多解性问题; (3)对于非周期四阶微分方程, 当线性部分不满足强制性条件以及非线性项满足更加一般的(AR)条件时, 利用山路引理研究了其同宿解的存在性问题.