中文摘要：

本项目把Hopf代数理论与Gorenstein 同调代数和代数表示论相结合,以Hopf-Galois扩张为突破口,利用同调和表示手段来研究它的Gorenstein性质和表示不变量.设A/B为Hopf代数H上的Hopf-Galois扩张,本项目主要研究的问题有:(1) 利用伴随对,Morita 等价,导出范畴和对偶等工具得到扩张的一些Gorenstein性质,并通过构造Hopf-Galois扩张关于扩张函子的谱序列来给出A、B和H的整体维数之间的关系; (2) 通过比较代数A和子代数B的有限生成模投射维数的关系,来给出有限维数为扩张下的不变量的一些充分条件; (3) 通过研究Hopf-Galois扩张的整体Gorenstein投射维数, 整体Gorenstein内射维数,整体维数,弱维数,表示维数和有限维数等之间的关系, 得到一些同调不变量和表示不变量及更多的Gorenstein同调性质.

结论摘要：

本项目利用伴随对、Morita等价、对偶等工具得到Hopf-Galois扩张的一些同调性质和表示性质；构造Hopf群余代数的Radford双积（smash积与交叉余积）及其拟三角结构。根据实际完成情况，将项目研究的研究成果总结如下 (1) Hopf-Galois扩张的同调性质的研究模的复杂度反映了它的极小投射分解的生长速度，是刻画模的同调性质的一个重要指标。交叉积作为Hopf-Galois扩张的一种重要类型，在Hopf代数的扩张理论中起着重要作用。本项目对交叉积的复杂度进行了研究； (2) Hopf群余代数的Radford双积及其拟三角结构的研究给出群交叉余积和群smash 积构成Hopf 群余代数的一些充分必要条件, 这是著名的Radford 双积在Hopf 群余代数系统中的实现。得到Hopf群余代数上交叉余积的所有拟三角结构，进而获得一系列广义Yang-Baxter方程的解，加强了与物理的联系。