中文摘要：

同伦论是个古老而又重要的数学分支之一。同伦论的理论与方法在理论物理、弦理论、量子群及数学物理等方面有广泛的应用。近年来，申请者主要研究同伦论及其与低维拓扑和群表示论的联系，在非稳定同伦论、单纯同伦论、构形空间及辫子群等方面作出过许多重要工作，使用单纯方法及群表示论方法解决了许多同伦论问题并形成自己独特的研究风格，同时建立了同伦论与辫子群、构形空间、置换群模表示论等方向的一些重要内在联系。申请者的研究工作具有相当高的原创性，善于寻求新的方法攻克一些经典的困难问题，在同伦群组合描述及辫子群与同伦群内在联系等方面的研究成果具有重要理论意义。国内合作者领导的课题组在国家自然科学基金的资助下，在三维流形Heegaard分解方面的研究工作也取得突出成绩。合作开展同伦论、辫子群、Heegaard分解之间内在联系的研究工作，必将推动国内该领域研究的快速发展，并使得在该领域的若干方面处于国际先进或领先地位。

结论摘要：

按照本项目的研究计划，我们对于低维拓扑与同伦论相关联的一些问题进行了探讨，取得了一些重要进展，在这两领域之间建立更紧密的联系。探讨Heegaard分解的相交核,一般曲面上的Brunnian辫子群及Brunnian映射类群；建立了标架链环的单纯群结构，映射类群的Δ群结构；成功地给出了高维球面一般同伦群的组合描述。成果中有四篇已经发表在高水准的国际期刊，同时有六篇已经被高水准国际期刊接收发表。 给出了Heegaard分解的相交核模掉换位子群的一个表示以及描述了相交核在连通和下的阻碍。在链环群与同伦群的联系方面，利用标架链环上的标架引入了单纯resolution，由此产生的系列链环群构成了单纯群，确定了这些单纯群的伦型，从而首次以系列链环群构成的单纯群来给出3－维球面的回路空间的组合模型；同时通过引入对称换位子群及K(\pi,1) 分划的概念建立链环群与同伦群之间的新的关系。在辫子群、映射类群与同伦群的联系方面，建立了大量的单纯及Δ结构，这为建立代数拓扑学与低维拓扑的进一步联系提供框架性的工作。对Brunnian辫子群及Brunnian映射类群进行了深入研究，将Levison于1975年关于4弦Brunnian辫子群的经典结果推广到任意n弦的Brunnian辫子群。