中文摘要：

本课题拟用变分方法,结合几何测度论、非线性分析、几何分析和偏微分方程等理论，研究Carnot-Caratheodory空间（C-C空间），特别是Carnot群上的测地线的构成规律；研究C-C空间上的极小曲面的分析刻划，探讨具有指定曲率的曲面与其相对应的面积泛函的临界点之间的关系，以及Carnot群上的极小曲面的性质，如存在性、正则性等；深入研究度量空间之间的Sobolev映射的性质，重点研究介于两个Carnot群的Sobolev映射所对应的能量泛函之极小的正则性。这些研究可望进一步弄清C-C空间的本质结构，建立C-C空间上几何分析的变分框架，进一步发展C-C空间上的几何测度论和次椭圆算子理论。C-C空间在控制论、非完整力学系统、规范场论、Cauchy-Riemann几何和次椭圆算子理论等数学和应用领域都有重要的应用，在过去十来年引起了广泛的关注，深入开展这一领域的研究非常有意义。

结论摘要：

本项目拟用变分方法，结合几何测度论、非线性分析、几何分析和偏微分方程等理论，研究Carnot-Caratheodorykon空间（C-C空间），特别是Carnot群上的测地线的构成规律；研究C-C空间上的极小曲面的分析刻划，探讨具有指定曲率的曲面与其相对应的面积泛函的临界点之间的关系，以及Carnot群上的极小曲面的性质，如存在性、正则性等；深入研究度量空间之间的Sobolev映射的性质，重点研究介于两个Carnot群的Sobolev映射所对应的能量泛函极小的正则性。这些研究可以进一步弄清C-C空间的一些本质结构，建立C-C空间上几何分析的变分框架，更深入地发展C-C空间上几何测度论和次椭圆算子理论。C-C空间在控制论、非完整力学系统、规范场论、Cauchy-Riemann几何和次椭圆算子理论等数学和应用领域都有重要的应用，在过去的十来年引起了广泛的关注，深入开展这一领域的研究是非常有意义的。