中文摘要：

湍流现象的刻画是数学中最困难的问题之一。在众多非线性色散波的物理系统中，波的长时间行为可由波湍流理论来描写。在强非线性相互作用下，波湍流可呈现比弱湍流丰富得多的动力学和统计力学现象，包括相干性结构（如孤子波以及波陷缩和间隙性陷缩）的湍流。然而，传统的波湍流理论研究的重点只是弱非线性相互作用的弱湍流。本项目将突破传统的弱湍流研究范围，从最大熵原理和涨落定理这两个新的数学角度来研究由强相互作用所诱导的相干性激发湍流。本项目将在非平衡态波湍流通量动力学中推广最大熵原理的应用，同时将加深在远离平衡态的波湍流中的这一原理可应用性的探讨；本项目还将探讨在非平衡态波湍流中涨落定理的表征以及如何刻画远离平衡波湍流的统计力学现象。本项目将有机地结合统计力学、渐进分析、数值计算、大偏差理论和非线性动力学中的数学方法对色散波的长时间统计动力学行为进行研究，从而将理论研究从弱湍流推广到强相互作用下的波湍流。

结论摘要：

本项目研究非线性色散波的长时间的平衡态和非平衡态的统计特性，从波的局域激发、共振结构、到弱湍流的产生机制进行了深入的探讨。研究通过刻画海洋中的丰富的色散波及孤立子动力学现象以及理想色散波的数学模型，包括内波和表面波的共振耦合的机制，广义色散关系重整，以及此重整色散关系对有效波波共振以及色散波的长时间的统计态的影响。研究方法包括波的多尺度渐进分析，有效动力学投影算子方法的理论框架，数值计算模拟和统计分析等。研究取得了如下的主要数学结果在平衡态和非平衡态的色散波的动力学系统中，揭示了重整色散关系的普适性，以及对长时间非线性色散波的波波共振的控制，提出了色散关系的重整来自平凡共振，而重整后的色散非平凡共振在弱湍流能谱起了决定性的作用弱湍流机制的理论框架。