中文摘要：

双曲几何流是由我们自己提出的一个全新的研究方向，它是将双曲型偏微分方程理论应用于研究几何学、物理学等领域相交叉的前沿课题，对流形结构、时空几何学、现代物理学、广义相对论以及引力理论等的深入理解具有特别重要的意义。本课题将着重研究下述几个方面的问题（1）双曲几何流的整体存在性以及大时间性态；（2）双曲几何流中的奇性形成（包括奇性的形成机制和奇性的分类等）以及奇性的结构与传播；（3）双曲几何流在微分几何学中的应用利用双曲几何流重点研究微分几何学中的"两点边值问题"，同时利用双曲几何流的思想和方法研究并力争解决丘成桐教授提出的关于三维渐近平坦流形的一个著名open问题；（4）双曲几何流在理论物理和广义相对论中的应用给出双曲几何流在相对论膜理论以及Einstein场方程等方面的应用。这些问题的解决无论是在理论上还是在应用方面均具有重要的科学价值。

结论摘要：

双曲几何流是由我们自己提出的一个全新的研究方向，它是将双曲型偏微分方程理论应用于研究几何学、物理学等领域相交叉的前沿课题，对流形结构、时空几何学、现代物理学、广义相对论以及引力理论等的深入理解具有特别重要的意义。本项目各项研究任务已顺利完成，预期的研究结果已经得到。取得的成果包括下述几个方面（1）在一定的条件下，证明了双曲几何流解的整体存在性、刻画了解的长时间性态；（2）研究了双曲几何流中的奇性形成（包括奇性的形成机制和奇性的分类等）以及奇性的结构与传播；（3）给出了双曲几何流在微分几何学中的一些应用；（4）给出了双曲几何流在理论物理和广义相对论中的应用，特别是给出双曲几何流在相对论膜理论以及Einstein 场方程等方面的应用。