中文摘要：

申请人通过将双曲型偏微分方程理论应用到几何学、物理学来研究一类带有外力场的双曲平均曲率流,特别是平面曲线的演化。拟将双曲方程的极值原理应用到由双曲型Monge-Ampère方程的 Riemann不变量构成的方程组中，进而来研究这一类双曲平均曲率流的光滑解的局部存在唯一性、奇性形成以及长时间存在性行为。利用双曲型偏微分方程的特征值方法研究在带有外力场的双曲平均曲率流作用下的平面曲线的演化，并针对不同外力场刻画出不一样的极限性态。定义一个双曲型晶体算法研究闭凸多边形曲线的演化及其极限性态。该研究对进一步揭示Minkowski时空中相对论弦在演化过程中所保持的某些几何性质起着很重要的作用，为图像处理的几何方法提供了一个新的模型。该研究是联系双曲型偏微分与几何分析学的一坐桥梁，不仅具有重要的几何意义，而且还具有重要理论意义。

结论摘要：

带有外力场的双曲平均曲率流曲线的演化是由申请人自己提出的一个全新的研究方向。通过将双曲型偏微分方程理论应用到几何学、物理学来研究一类带有外力场的双曲平均曲率流,特别是平面曲线的演化。本项目各项研究任务已顺利完成，预期的研究结果已经得到。取得的成果包括下述几个方面（1）将双曲方程的极值原理应用到由双曲型Monge-Ampère方程的 Riemann不变量构成的方程组中，进而来研究这一类双曲平均曲率流的光滑解的局部存在唯一性、奇性形成以及长时间存在性行为；（2） 拟利用双曲型偏微分方程的特征值方法研究在带有外力场的双曲平均曲率流作用下的平面曲线的演化，并针对不同外力场刻画出不一样的极限性态；（3）定义一个双曲型晶体算法研究闭凸多边形曲线的演化及其极限性态。