中文摘要：

李群及其格点子群作用的动力系统是流与离散动力系统的推广，在几何和数论等领域有重要应用。本项目拟在两个方面开展研究。 (1) 群作用的局部刚性是流和离散动力系统的结构稳定性的自然推广。Zimmer的上同调方法是研究局部刚性的重要方法之一。本项目拟利用Zimmer的方法和Banach流形的隐函数定理研究李群及其格点子群作用的局部刚性。 (2) 保持刚性几何结构的李群作用的动力系统具有很强的几何背景。所谓的Gromov中心化子定理是该领域的重要研究工具。本项目拟利用无穷小Killing向量场的可延拓性和推广的Borel稠密性定理来加强Gromov中心化子定理。

结论摘要：

本项目开展了李群作用的动力系统以及与李群相关的其他问题的研究，包括以下几个方面 (1) 在保持刚性几何结构的李群作用的动力系统方面，统一并推广了Gromov的中心化子定理、表示定理和开稠轨道定理。由此证明了分裂可解李群作用具有整体刚性，研究了流形等距同构群的结构，并证明了两个不动点定理。 (2) 在齐性动力系统方面，利用紧极小集的概念，得到了Margulis猜想的等价陈述，并证明了紧极小集的稳定子群不包含非平凡连通幂幺子群。另一方面，证明了Bad(s,t)是winning集，从而解决了二维Kleinbock问题，并给出了Schmidt猜想的新证明。 (3) 完全解决了紧李群上的几个泛函方程。 (4) 研究了紧李群的dimension data问题，解决了Langlands提出的两个问题，证明了存在等谱但不同胚的单连通紧黎曼流形。