中文摘要：

离散可积系统理论是可积系统理论的一个重要部分，它和许多研究领域, 如数值分析，统计物理，数学生物，差分几何，弦理论，特殊函数，量子群，量子场论 等密切相连。本项目研究若干在数学和物理中重要的离散可积方程簇 （包括均匀谱和非均匀谱，无穷晶格和有限晶格，经典的和量子的，微分-差分方程和差分方程）的Darboux变换理论及其应用。主要涉及离散可积方程簇（如2+1维非均匀谱相对论的Toda方程簇，Suris有限晶格方程簇，经典的和量子的离散Painleve方程簇，一些新的高维离散可积方程簇等）的Darboux变换的构造，将Darboux变换应用于求这些离散可积方程簇的有物理意义的精确解，并对解的动力学性质作深入的分析。本项目研究探索的内容将试图解决离散可积系统的Darboux变换理论中的若干重要而困难的问题，从而使人们能更深刻地理解、阐述、揭示离散可积系统所刻化的物理模型的本质。

结论摘要：

本项目按研究计划顺利进行，在研究计划确立的若干研究问题上取得令人关注的成果，同时在和研究要点密切相联系的一些新的研究问题上取得重要进展。本项目执行期间，国内外学术交流活跃，人才培养取得好成绩。已取得的研究成果主要包括（1）对若干在数学和物理中重要的离散可积方程（如Suris半离散可积方程，半离散mKdV方程系统， Volterra方程系统，高阶半离散mKdV方程）构造了它们的Darboux变换。应用Darboux变换求出了这些离散可积方程的孤子解。这对于人们深刻理解这些离散可积系统的可积性是重要的。（2）由于离散孤子解的结构较为复杂，使得离散孤子解的动力学性质分析更为困难。我们深入地分析了若干离散可积方程的精确解的动力学性质，揭示出这些离散孤子解与连续可积系统孤子解的不同的一些新特征。 通过对一个Suris半离散可积方程的孤子解的相互作用的理论分析，我们发现存在着这样一种离散孤波振幅小的孤波的传播速度比振幅大的孤波的传播速度快。离散孤波的这个性质在连续可积系统中是不存在的。（3）非交换的离散可积系统是可积系统理论中的一个重要研究对象，由于非交换性，大大增加了研究非交换的离散系统的可积性的困难。借助于考虑一个半离散矩阵Ablowitz-Ladik均匀谱和非均匀谱问题，我们获得了一个新的矩阵半离散可积方程簇。对应于非均匀谱，我们证明了这个矩阵半离散可积方程的连续极限是一个矩阵变系数mKdV方程，这个矩阵半离散可积方程的静态流产生出一个矩阵离散的2阶Painleve方程。这个结果为非交换的离散可积系统和非交换的离散Painleve方程增加了新的内容。（4）研究离散可积方程的可积性质（如Lax对，Darboux变换，精确解，守恒律）的连续极限和对应的连续可积方程系统的可积性理论之间的关系是一个困难而有意义的问题。怎样建立连续可积方程的可积离散格式，使得这个离散格式的可积性在连续极限下导致到连续可积方程的可积性是人们期望的。我们研究了一个半离散mKdV方程系统，一个Volterra方程系统，一个高阶半离散mKdV方程的连续极限理论，证明了在连续极限下它们的可积性（包括Lax 对，Darboux变换，孤子解，无穷守恒律 ）导致到对应的连续可积系统的可积性。这些主要研究成果已经总结成14篇文章，分别发表在有重要影响的国际和国内学术期刊上。