中文摘要：

可积系统的精确解对于深入了解由这些非线性偏微分方程所描述的非线性现象有着重要作用。本项目研究在数学、力学和物理中出现的具有复杂对称性的可积系统的精确求解方法，特别是Darboux变换方法和非线性约束方法。主要内容为: 研究保持所有对称性的Darboux变换的一般构造方法及用Darboux变换求相应的几何、物理问题如与各种无限维Lie代数相关的2维Toda方程等的精确解，并研究解的几何与物理特性; 研究保持所有对称性的非线性约束的一般构造方法，包括研究如何系统构造保持所有对称性的有限维Lax算子以及r矩阵等,特别是在系统具有内在辛结构且有复杂对称性的情形给出这些问题的统一结论，并应用到具体问题中去; 研究在系统具有复杂对称性时不同求解方法的内在联系。通过本项目的研究，希望对这些具有复杂对称性的可积系统的精确求解方法有深入、系统的认识。

结论摘要：

主要研究结果如下 （1）对于具有内在辛对称和若干个循环对称的Lax对的n阶AKNS系统(含有大量重要的方程，包括二维C_n^{(1)} Toda方程)，通过给出一个统一的有限维Lax矩阵，得到一个自然的有限维Hamilton系统，进而构造r矩阵并证明了此Hamilton系统的完全可积性。本项工作的难点在于要求所得的有限维Lax矩阵同所有对称均相容,从而导致r矩阵较复杂，进而引起统一的Hamilton函数的构造及守恒积分独立性的证明的复杂性。 （2）对于同时具有实对称性、循环对称性和酉对称性的Lax对构造了保持所有对称性的Darboux变换，并由此得到所有七个无限系列的二维椭圆仿射Toda方程的Darboux变换及解的具体表达式。除最简单的A_n^{(1)} 代数外, 其余六类代数 A_{2n}^{(2)}, A_{2n-1}^{(2)}, B_n^{(1)}, C_n^{(1)}, D_n^{(1)}, D_{n+1}^{(2)} 所相应的二维椭圆Toda方程均同时具有上述对称性。本项工作的难点在于Darboux变换要保持所有的对称性，所以最低阶Darboux变换的阶数也非常高，需要用一系列技巧以得到解的简洁显式表达式。所得的方法也适用于其它同时具有上述对称性的可积系统的求解。 （3）给出了一个统一的方法以确定一个非线性偏微分方程是否能通过对数变换转换为KdV型双线性方程，并且给出具体的转换方法。整个变换依赖于若干个参数，每个参数均可从原非线性偏微分方程以简便的方式显式算出，并且这些算法完全可用人工、不需要任何试探、也不需要借助于计算机来实现。 （4）对于2+1维AdS时空中描述Yang-Mills-Higgs场的Bogomolny方程，通过对其Lax对作约束，建立了它同Ward方程和非线性sigma模型的联系。同时，构造了约束后的系统的Darboux变换。 （5）对一些有物理背景的具体方程构造了Darboux变换。 在国外SCI期刊发表论文3篇，国内SCI期刊发表1篇，论文集发表1篇。另外, 翻译了Rogers和Schief教授关于可积系统的专著一册，由科学出版社出版。