中文摘要：

本项目研究树状网络上拟线性双曲组的精确边界能控性与能观性及其相互关系与应用。在生活中，从庞大的供气、排水系统到微小的血管分布，从实际的交通道路系统到虚拟的计算机网络，网络随处可见。近十年来，对一维拟线性双曲组的精确边界能控性与能观性问题，已有了一个完善的理论体系，本项目将着重考察其在网络系统中的相应结果。在网络中的研究不仅会面临复杂的几何结构，同时会面临多重节点处控制量通常缺失等严重困难。申请人已在平面弦振动、河渠非定常流等情况得到一些结果，本项目将深入研究一些更复杂的模型，如三维弦振动、带污染的河渠非定常流模型、铁摩辛柯梁等。另外，对新近从工程问题中归纳出来的关于节点状的精确边界能控性，也将系统地在树状网络上进行研究，并建立起完整的理论。

结论摘要：

在本课题中，本人研究了拟线性双曲型方程组在树状网络上的精确边界能控性问题。树状网络在现实生活中随处可见，如河流河渠、道路交通等，而对这些物理工程现象的数学描述则通常可用拟线性双曲组来表示，如圣维南方程组、弦振动方程等。因此，这一研究具有广泛的应用价值。由于本人在早期的科研中，对于传统意义下的精确边界能控性已经获得了一套较为完整的结果，因此，本人着重研究了树状网络上关于节点状态的精确边界能控性。与传统意义下的能控性问题不同，关于节点状态的能控性问题的控制目标函数不再是整个网络上方程组在某个时刻的解，而是解在某些给定节点处的连续状态。这一问题的出处缘于天然气管网中的气体输送，输入端与输出端的状态即为节点状态。在本课题中，本人研究了多个相关的问题，包括给定的目标函数满足何种条件的情况下能控性可以实现；若需实现能控性，控制量的选取要满足什么条件；实现能控性的最优时间等等。本人通过对单个多重节点的星型网络的研究以及随后在一般树状网络上的推广，证明了所需的控制函数的个数需要等于事先给定的目标函数的个数；而目标函数本身与相应的控制函数所给定的位置则分别与树状网络一起，满足一定的拓扑性质。另一方面，本人还研究了控制量缺失所带来的问题。由于控制量的选取与连接条件有关，而在具实际物理背景的问题中，经常会遇到齐次的连接条件，即在这样的节点处没有可供选取控制函数，这就称为控制量的缺失。本人证明了，在满足一定的条件下，控制量可在离目标函数所在节点较远的节点上重新选取；而在另一些情况下，甚至仅仅通过在单节点处选择控制函数就可实现树状网络上的能控性。