中文摘要：

代数方程根式可解性理论是代数学发展过程中的一个关键环节，直接催生了抽象代数理论体系的建立，受到数学家和数学史家的广泛关注。Lagrange是该理论的转折点。关于该理论在Lagrange之后的发展，近年出现多种研究，对Ruffini、Gauss、Abel、Galois等人的成就作出较好地阐释。但该理论在Lagrange之前的进展尚未得到很好的解释，对称函数、根的置换、预解方程等重要方法的发展历程未得到仔细的梳理，许多代数法则的来源尚未搞清楚，这对理解该理论的整体进展带来逻辑上的困难。本项目准备以"古证复原"为原则，进一步挖掘Cardano、Newton等数学家的原始思想；同时以"为什么数学"为切入点，探寻Vieta、Descartes、Waring、Vandemonde、Tschirnhaus等数学家的思想源泉、研究动机及其影响，梳理出对称函数、根的置换和预解方程理论的清晰地发展脉络。

结论摘要：

从Cardano1545年的《大术》到Lagrange1771年“对方程代数解的反思”，这二百多年是代数学发展中的一个重要阶段，但是通常数学史文献对此很少有连贯的论述，而只是强调个别成果或数学家的重要性。本项目对这一阶段代数方程根式可解性理论的发展作了比较详细的研究，以期至少从一个侧面反映这一阶段代数学发展的全貌。项目组重点研究了以下两个问题代数学如何逐渐脱离了几何学而成为一门独立的“分析”的科学，这个问题不仅涉及到代数学符号化的实现和自身逻辑基础的建立，也与代数学的研究目标和中心问题即解代数方程有直接关联；另外，为了这一目的，一些重要的数学家的贡献在这一阶段到底应该如何地位，是否有必要对其成果进行重新反思？解决了四次方程之后，代数学家们是怎样试图解决五次以上方程的，他们如何面对所遇到的困难，当他们不能根式求解一般五次以上方程时有没有变通的策略，在这一变化过程中有没有产生新的数学理论和方法？基于对以上问题的解决，本项目对于本阶段代数方程的预解方程理论、根的结构理论、根的对称函数理论的发展作了较系统的综合研究，阐明了相关数学家的主要贡献、他们之间的学术传承关系以及他们对代数学从研究方程论转变到研究代数结构这一进程的影响。另一方面，本项目对Cardano、Bombelli、Vieta，Harriot等人的数学著作进行了专题研究，完成了对Cardano的《大术》的翻译和注释，对Cardano和Bombelli关于四次方程的贡献给出了新的解释；对归功于Descartes的待定系数法作了重新评估；阐释了Vieta和Harriot在代数学变革中的独特贡献。