中文摘要：

本项目属于基础性研究，主要研究高阶辛Runge-Kutta方法的构造和计算，高扰动Hamilton系统的辛算法，弥散性,群速度和多辛结构之间的关系，带有耗散项的辛和多辛结构的保结构算法，保结构分裂算法的理论和应用，保结构算法在光孤子偏微分方程中的应用等内容。本项目理论研究是保结构算法领域内的研究热点，研究成果具有国际前沿性。保结构算法应用于光孤子偏微分方程并分析光孤子在不同参数作用下的传输特性具有重要意义和显著特色。申请人多年来从事保结构算法的理论和应用的研究。项目组成员对项目研究内容已有了初步研究，具有良好的工作基础，同时海南大学科学计算实验室为本项目的实施提供了良好的科学计算条件。本项目研究对推动保结构算法的理论及其在光孤子偏微分方程中的应用，促进海南大学计算数学学科的发展和在海南大学形成国内有一定影响的微分方程理论和数值解法的科研团队具有重要意义。

结论摘要：

孤立子偏微分方程是数学和物理中一类重要的方程。方程本身具有固有守恒特性，如具有辛守恒的哈密尔顿系统，具有多辛守恒和能量守恒及动量守恒的偏微分方程，具有能量散逸性的偏微分方程。在数值模拟中，保结构算法能保持孤立子偏微分方程的固有特性，对正确地模拟孤立子的运动具有重要的意义。本项目主要研究保结构算法中辛几何算法，多辛算法及平均向量场方法的理论并在孤立子偏微分方程中的应用。根据项目计划书，研究内容主要包括三个方面，第一方面研究高阶辛格式的构造在带耗散项动力系统等方程中的应用。第二方面是新的多辛格式的构造及其在孤立子偏微分方程中的应用, 新的多辛格式的精度和弥散性分析。第三方面是新的保结构算法如分裂算法和保能量算法在光孤子偏微分方程中的应用。在辛几何算法方面，构造了带耗散项的Birkhoff系统的辛格式，分析了冷原子介质中慢光孤子的传输特性和描述外加电场光伏光折变晶体光孤子行为的傍轴方程，利用弥散性理论分析了非线性薛定谔方程辛格式的弥散特性。在多辛算法方面，提出了新的高阶多辛Euler-box格式，利用向后误差分析理论证明了格式具有高阶精度，构造了非线性波动方程的高阶显式多辛格式，构造了二维Zakharov-Kunzetsov方程和KP方程新的高阶多辛格式，解决了KP-II方程计算的困难，比较了BBM方程三个不同的多辛格式得出了新格式在保能量方面的优越性，分析了这些新格式的弥散性和群速度及多辛结构的关系。在新的保结构算法研究中，利用分裂算法分析了饱和参数对高阶双稳态慢光孤子的影响，利用李群方法分析了扩散方程的稳定性，对高阶平均向量场方法进行了深入研究，构造了耦合薛定谔方程和KdV方程的高阶保能量格式，构造了Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程的高阶保能量散逸性格式，提出了六阶平均向量场方法并证明了格式的精度和保哈密尔顿系统的能量守恒特性。研究成果获得了海南省科技进步奖二等奖，出版了学术专著1部，在国内外发表期刊论文21篇，其中SCI收录论文12篇，EI收录2篇，在国内重要学术会议上做学术报告5次。研究生培养显著，指导了10名硕士研究生，已毕业5名，其中有3名考取博士，2人获国家奖学金，1人获海南省优秀硕士学位论文。本项目的研究成果发展了保结构算法的理论和应用，对正确地模拟具有内在守恒等特性的偏微分方程具有重要的意义，促进了海南大学计算数学学科的发展。