数学物理中的某些非线性偏微分方程-东篱科研大数据发现系统（DRDS）

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数学物理中的某些非线性偏微分方程

项目名称：数学物理中的某些非线性偏微分方程
项目类别：面上项目
批准号：10471047
申请代码：A010804
项目来源：国家自然科学基金
研究期限：2005-01-01-2007-12-31

项目负责人：李用声
负责人职称：教授
依托单位：华南理工大学
批准年度：2004

中文摘要：

本项目研究源于数学物理中的几类典型非线性发展方程和非线性椭圆型方程。涉及的非线性发展方程主要是水波、激光等离子体物理中的非线性Schr?dinger型方程和方程组，如长短波共振方程、Zakharov方程组、Ginzburg-Landau方程等等，主要研究解的适定性、渐近性态，孤立波的存在性和稳定性、吸引子及其相关问题。涉及的非线性椭圆方程主要是非线性发展方程的孤立波、周期解等所对应的非线性椭圆方程、自然增长非线性椭圆型方程，包括临界指数及次临界指数等等的边值问题的多重解的存在性及解的分岔，相应的泛函是不光滑的或带限制的，需要对不光滑泛函的临界点和限制在球面上的泛函临界点进行研究。这些问题是目前国际上的热门课题，难度较大，涉及方程、拓扑、泛函、几何多个学科。对于这些问题的研究能发展出新的方法，揭示出新的规律，具有很高的学术价值和应用前景。

中文主题词：整体吸引子；正则性；非线性椭圆方程；多重解；临界位势与临界参

英文摘要：

global attractors; regularity;

英文主题词： global attractors; regularity;

结论摘要：

本项目基本上按照计划进行，并达到预期目的。主要成果如下 1．研究了长短波方程组、Davey-Stewartson方程组、 Zakharov方程组的长时间性态。利用调和分析工具，半群分解技巧，并借用集中紧致引理的二分性，证明了解算子的渐近光滑性，证明了整体吸引子的存在性。 2．对Ginzburg-Landau方程，通过最优正则性的修正解析半群方法和"ε-正则解"的概念，证明了低正则性的初值解的整体存在性。 3．对非牛顿流体力学方程组，运用傅立叶谱分解方法，得到解的最优衰减率。对于二维边值问题，证明了整体吸引子的正则性、轨道吸引子的存在性。 4．对于拟线性椭圆型方程，解决了Brezis与Vazquez关于Hardy不等式的一个猜想。解决了含多重临界位势与临界参数的非线性椭圆型方程多重解的存在性。还解决了Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式方面的一个开问题。对自然增长拟线性椭圆方程，发展了连续而非光滑泛函的相应理论，得到解存在的最佳条件。 5．研究了Camassa－Holm方程的时间周期解和概周期解问题。还研究了Helmhotz方程4阶紧差分格式，证明了它的收敛性。

成果综合统计