中文摘要：

本项目拟系统开展分片代数曲线和分片代数簇的研究。主要研究内容是分片代数曲线的若干基本定理，处理分片代数簇的基本框架和计算方法。与已往工作不同的是，本项目中研究的分片代数曲线和分片代数簇是最广泛的分片代数曲线和分片代数簇，即借以界定分片代数曲线和分片代数簇的多元样条的剖分可以不尽相同；同一剖分上各内剖分线(面)的跨界光滑度也可以不尽相同。因而难度很大，如在处理它们的公共零点集时，必须处理诸多不同剖分"叠合"所导致的影响，这需要一定的逻辑判断、不等式约束以及分片多项式跨界性质等。

结论摘要：

本项目基本按照研究计划执行，围绕分片代数曲线和分片代数簇开展研究工作，主要研究重点为分片代数曲线的若干基本定理，处理分片代数簇的基本框架和计算方法。同时增加了一些曲线曲面造型、微分方程数值解和散乱数据处理等方面的研究，并开展了一些应用问题的研究，对解决多元样条理论和应用问题具有一定意义。理论方面的研究包括对分片代数曲线和分片代数簇的理论研究取得一些创新性成果，研究了任意三角剖分上分片线性代数曲线的Bezout型定理以及贯穿三角剖分上C0分片代数曲线的Cayley-Bacharach定理；给出了贯穿剖分与拟贯穿剖分下分片代数簇的Hilbert零点定理；分片代数簇与多元样条环之间的代数与几何关系；对多元样条的空间维数及其稳定性，非均匀II型三角剖分上3次样条空间具有局部支集的基函数等基础问题取得一些新的结果；对BOX样条和多元截断幂进行研究，给出了二元截断幂的显式表达式和BOX样条沿各个方向剖分线上的最小光滑度；将多元样条与组合问题相结合，获得了一些有意义的结果。应用方面的研究包括提出了一种自适应的利用二型三角剖分上样条函数来逼近光滑曲线的符号距离函数方法， 并利用该方法研究了曲线的裁剪偏移；在曲线曲面造型中，给出了插值曲率线的可展曲面的构造方法, 并且给出了曲面的具体表达形式；将测地线和极小曲面相结合, 研究了插值测地线的极小曲面逼近问题；讨论了拟—Plateau问题，即如何在满足整个或部分边界的定义在矩形域的所有参数曲面中找到面积最小的曲面；对一种线性二进制六点细分格式进行了分析，证明了这个格式具有高阶连续性，多项式再生性以及保凸性；以及样条方法在数值逼近，数据拟合，数值积分，微分方程数值解等方面中的应用取得了一系列的结果。共发表论文30篇，其中SCI检索27篇， EI检索20篇。召开全国几何设计与计算学术会议（GDC 2013），参与人数250余人，项目组成员在会议上做相关方向15分钟分组报告多次。培养博士研究生6名，硕士研究生3名，博士生李彩云获得2011年教育部博士研究生学术新人奖。